2011-天津卷理-01 单-复数除法

本题导读

本题考查复数的代数除法与分母实数化，以及虚数单位的幂次运算。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(理)）

$\text{i}$ 是虚数单位，复数 $\frac{1-3\text{i}}{1-\text{i}}=$ ()

A. $2+\text{i}$　　　　B. $2-\text{i}$　　　　C. $-1+2\text{i}$　　　　D. $-1-2\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分子分母同时乘以分母的共轭复数 $1+\text{i}$。

2. 利用平方差公式化简分母，展开并整理分子。

3. 化为标准的复数代数形式 $a+b\text{i}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{1-3\text{i}}{1-\text{i}}=\frac{(1-3\text{i})(1+\text{i})}{(1-\text{i})(1+\text{i})}=\frac{1+\text{i}-3\text{i}-3{\text{i}}^2}{1^2-{\text{i}}^2}$

因为 ${\text{i}}^2=-1$，代入上式得：

$=\frac{1-2\text{i}-3(-1)}{1-(-1)}=\frac{4-2\text{i}}{2}=2-\text{i}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数除法分母实数化法则、${\text{i}}^2=-1$ 的代换。

• 核心方法：分子分母同乘以分母共轭复数。

• 避坑指南：乘法展开时注意交叉项的符号，尤其是 $-3\text{i}\cdot \text{i}=3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高中数学选修复数运算基础考题。

• 结论推广：形如 $\frac{a+bi}{c+di}$ 的复数化简均可通过分子分母同乘 $c-di$ 转化为实数分母。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 2005-全国卷I理-01 单-复数的代数运算