2011-天津卷理-04 单-等差数列求和

本题导读

本题考查等差数列的通项与性质，以及等比中项性质。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(理)） 已知 $\{a_n\}$ 为等差数列，其公差为 $-2$，且 $a_7$ 是 $a_3$ 与 $a_9$ 的等比中项，$S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，则 $S_{10}$ 的值为 ()

A. $-110$　　　　　　B. $-90$　　　　　　C. $90$　　　　　　D. $110$

🔍【思路分析】

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1. 利用等比中项性质列方程：$a_7^2=a_3{a}_9$。
2. 将各项用首项 $a_1$ 和公差 $d=-2$ 表示。
3. 解方程求出首项 $a_1$，再利用等差数列求和公式计算 $S_{10}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差 $d=-2$。 由 $a_7$ 是 $a_3$ 与 $a_9$ 的等比中项，可得： $a_7^2=a_3{a}_9$ 代入通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d=a_1-2(n-1)$： $(a_1-12{)}^2=(a_1-4)(a_1-16)$ 展开化简： $a_1^2-24a_1+144=a_1^2-20a_1+64$ $-4a_1=-80⟹a_1=20$ 利用等差数列前 $n$ 项和公式求 $S_{10}$： $S_{10}=10a_1+\frac{10\times 9}{2}d=10\times 20+45\times (-2)=200-90=110$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等差数列通项公式、等比中项条件 $b^2=ac$、等差数列求和公式。
• 核心方法：基本量法（设 $a_1$ 和 $d$ 列方程求解）。
• 避坑指南：列等比中项方程时切勿漏掉平方，计算 $S_{10}$ 时注意公差为负数。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高中数学必修五数列章节经典综合题。
• 结论推广：若项 $a_m,a_k,a_n$ 成等比数列，则其下标满足特定关系或可通过公差建立线性方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-03 单-等差等比中项
• 2013-江苏卷-19 解-基本性质及通项公式
• 2014-湖北卷文-19 解-等差数列