2011-天津卷理-11 填-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的参数方程与标准方程互化，以及抛物线的焦点与直线方程。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(理)） 已知抛物线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=8t^2\\ y=8t\end{array}$ ($t$ 为参数)，若斜率为 1 的直线经过抛物线 $C$ 的焦点，且与圆 $(x-4{)}^2+y^2=r^2$ ($r>0$) 相切，则 $r=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 消去参数 $t$ 得到抛物线 $C$ 的标准方程 $y^2=8x$，求出其焦点坐标 $(2,0)$。
2. 写出过焦点且斜率为 1 的直线方程 $y=x-2$。
3. 利用圆心 $(4,0)$ 到该切线的距离等于半径 $r$，求解 $r$。

✅【答案】

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$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由抛物线 $C$ 的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=8t^2\\ y=8t\end{array}$，消去参数 $t$ 得 $y^2=64t^2=8(8t^2)=8x$。 抛物线 $y^2=8x$ 的焦点坐标为 $(2,0)$。 设过焦点 $(2,0)$ 且斜率为 1 的直线方程为 $y-0=1(x-2)$，即 $x-y-2=0$。 该直线与圆 $(x-4{)}^2+y^2=r^2$ 相切，圆心为 $(4,0)$，半径为 $r$。 由圆心到切线的距离等于半径得： $r=\frac{|4-0-2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ 故答案为：$\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：抛物线焦点坐标公式、点到直线的距离公式。
• 核心方法：参数方程化为标准方程、直线与圆相切的几何条件（$d=r$）。
• 避坑指南：消参时注意公式的准确对应，避免因计算失误导致焦点坐标偏移。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考解析几何中关于抛物线基本性质与圆的位置关系的经典基础题。
• 结论推广：若抛物线方程为 $y^2=2px$，其焦点为 $\left(\frac{p}{2},0\right)$，过焦点斜率为 $k$ 的直线方程可设为 $y=k\left(x-\frac{p}{2}\right)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-20 解-抛物线方程
• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义