2011-天津卷理-12 填-圆幂定理

本题导读

本题考查圆内的相交弦定理，以及切割线定理。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(理)） 如图，已知圆中两条弦 $AB$ 与 $CD$ 相交于点 $F$，$E$ 是 $AB$ 延长线上一点，且 $DF=CF=\sqrt{2}$，$AF:FB:BE=4:2:1$.若 $CE$ 与圆相切，则 $CE$ 的长为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $FB=2x$，则 $AF=4x$，$BE=x$。
2. 根据相交弦定理 $AF\cdot FB=CF\cdot FD$，列方程求出 $x$。
3. 求出 $EB$ 和 $EA$ 的长度，再利用切割线定理 $C{E}^2=EB\cdot EA$ 计算 $CE$。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{\sqrt{7}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $FB=2x$，由 $AF:FB:BE=4:2:1$ 可知 $AF=4x$，$BE=x$。 由相交弦定理得： $AF\cdot FB=CF\cdot FD$ 即 $(4x)(2x)=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}⟹8x^2=2⟹x^2=\frac{1}{4}⟹x=\frac{1}{2}$（$x>0$）。 从而 $FB=1$，$AF=2$，$BE=\frac{1}{2}$。 点 $E$ 在 $AB$ 延长线上，故 $EB=\frac{1}{2}$，$EA=AF+FB+BE=2+1+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$。 因为 $CE$ 与圆相切，由切割线定理得： $C{E}^2=EB\cdot EA=\frac{1}{2}\times \frac{7}{2}=\frac{7}{4}$ 解得 $CE=\frac{\sqrt{7}}{2}$。 故答案为：$\frac{\sqrt{7}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：相交弦定理（$PA\cdot PB=PC\cdot PD$）、切割线定理（$P{T}^2=PA\cdot PB$）。
• 核心方法：设元代数法结合平面几何定理。
• 避坑指南：注意线段加减关系，求解割线长度 $EA$ 时应将各分段准确相加。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：平面几何中的圆幂定理在高考平面几何选填题中的典型应用。
• 结论推广：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是该点到割线与圆交点距离的比例中项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2010-湖南卷理-10
• 2010-陕西卷理-15
• 2013-北京卷理-11 填-切割线定理