2011-安徽卷文-18 解-分式指数函数极值与单调

本题导读

本题考查分式函数的求导，以及含参数的极值。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(文)） 设 $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{1+a{x}^2}$，其中 $a$ 为正实数.

(1)当 $a=\frac{4}{3}$ 时，求 $f(x)$ 的极值点；

(2)若 $f(x)$ 为 $\mathbf{R}$ 上的单调函数，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：求导整理出 $f^{\prime }(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x\left[a(x-1{)}^2+1-a\right]}{(1+a{x}^2{)}^2}$
2. 步骤2：(1) 代 $a=\frac{4}{3}$ 因式分解定极值
3. 步骤3：(2) 讨论二次式 $q(x)$ 的符号

✅【答案】

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(1)极大值点 $x=\frac{1}{2}$，极大值 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3\sqrt{\mathrm{e}}}{4}$；极小值点 $x=\frac{3}{2}$，极小值 $f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{{\mathrm{e}}^{3/2}}{4}$

(2)$a$ 的取值范围为 $0<a⩽1$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 求导：

$f^{\prime }(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x(1+a{x}^2)-{\mathrm{e}}^x\cdot 2ax}{(1+a{x}^2{)}^2}=\frac{{\mathrm{e}}^x\left[a(x-1{)}^2+1-a\right]}{(1+a{x}^2{)}^2}$。

当 $a=\frac{4}{3}$ 时，$a(x-1{)}^2+1-a=\frac{4}{3}(x-1{)}^2-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}(2x-1)(2x-3)$。

由于 ${\mathrm{e}}^x>0$ 且 $(1+a{x}^2{)}^2>0$，$f^{\prime }(x)$ 在 $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)$ 与 $\left(\frac{3}{2},+\infty \right)$ 上为正，在 $\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$ 上为负。

故 $f(x)$ 在 $x=\frac{1}{2}$ 处取得极大值，$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{{\mathrm{e}}^{1/2}}{1+\frac{4}{3}\times \frac{1}{4}}=\frac{3\sqrt{\mathrm{e}}}{4}$；在 $x=\frac{3}{2}$ 处取得极小值，$f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{{\mathrm{e}}^{3/2}}{1+\frac{4}{3}\times \frac{9}{4}}=\frac{{\mathrm{e}}^{3/2}}{4}$。

（2） $f^{\prime }(x)$ 的符号由 $q(x)=a(x-1{)}^2+1-a$ 决定（正因子 $\frac{{\mathrm{e}}^x}{(1+a{x}^2{)}^2}>0$ 恒正）。

当 $0<a⩽1$ 时，$q(x)⩾1-a⩾0$ 对一切 $x$ 成立，故 $f^{\prime }(x)⩾0$，$f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。

当 $a>1$ 时，$q(1)=1-a<0$，而当 $|x-1|$ 足够大时 $q(x)>0$，故 $f^{\prime }(x)$ 的符号先正、后负、再正，$f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上不单调。

综上，所求 $a$ 的取值范围为 $0<a⩽1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：商的求导法则；二次三项式 $a(x-1{)}^2+1-a$ 的符号讨论；单调 $⟺$ 导数不变号

核心方法：把导数分子整理成配方式 $a(x-1{)}^2+1-a$（而不是展开式），符号讨论一目了然；(2) 按 $a⩽1$ 与 $a>1$ 分类，正因子直接剔除

避坑指南：$q(x)$ 的最小值是 $1-a$（在 $x=1$ 处取到），“在 $\mathbf{R}$ 上单调”只要求 $q(x)⩾0$ 恒成立（可以取到零，此时个别点导数为零不影响单调增），不要错误地要求 $q(x)>0$ 严格成立而把 $a=1$ 排除；$a>1$ 时 $q(1)<0$ 而两端为正，$f^{\prime }$ 变号两次，函数有一个极大点和一个极小点，必然不单调。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参指数分式函数题与 2011-北京卷文-18、2011-天津卷文-19、2011-上海卷文-21 同族。

结论推广：推广：$f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{g(x)}$ 型，$f^{\prime }$ 的符号由 ${\mathrm{e}}^{x}g(x)-{\mathrm{e}}^x{g}^{\prime }(x)$ 决定，整理成平方结构 $a(x-x_0{)}^2+c$ 是标准动作；”$\mathbf{R}$ 上单调”只需导数不变号，允许有限个零点。

方法推广：含参导数题：先提炼”符号决定者”（去掉恒正因子），把二次式配方，再按参数临界值分类；结论用参数范围规范表述。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-18 解-含参指数函数最值
• 2011-天津卷文-19 解-导数切线单调与零点
• 2011-上海卷文-21 解-指数型函数单调性