2011-安徽卷理-04 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划，以及绝对值不等式表示的区域。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(理)） 设变量 $x,y$ 满足 $|x|+|y|⩽1$，则 $x+2y$ 的最大值和最小值分别为 ()

A. 1, -1　　　　　B. 2, -2　　　　　C. 1, -2　　　　　D. 2, -1

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别 $|x|+|y|⩽1$ 对应的正方形区域及其四个顶点。
2. 将顶点坐标代入目标函数 $z=x+2y$ 比较得出最值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解： 不等式 $|x|+|y|⩽1$ 表示以 $(1,0)$, $(0,1)$, $(-1,0)$, $(0,-1)$ 为顶点的正方形及其内部区域。 设目标函数为 $z=x+2y$。 将四个顶点依次代入目标函数：

• 当 $(x,y)=(1,0)$ 时，$z=1$；
• 当 $(x,y)=(0,1)$ 时，$z=2$；
• 当 $(x,y)=(-1,0)$ 时，$z=-1$；
• 当 $(x,y)=(0,-1)$ 时，$z=-2$。

比较可知，最大值为 2，最小值为 -2。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：绝对值不等式区域界定与线性规划最值。
• 核心方法：数形结合，利用凸多边形区域最值必在顶点处取得的性质。
• 避坑指南：绘制区域时需准确分类讨论四象限，防遗漏顶点。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：改编自平面区域与线性规划基础问题。
• 结论推广：在凸多边形可行域内，线性目标函数 $z=ax+by$ 的极值必在区域的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-02 单-线性规划
• 2013-山东卷理-06 单-线性规划
• 2013-广东卷理-13 填-简单线性规划的应用