2011-安徽卷理-18 解-数列

本题导读

本题考查等比数列的性质与乘积。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(理)） 在数 1 和 100 之间插入 $n$ 个实数，使得这 $n+2$ 个数构成递增的等比数列，将这 $n+2$ 个数的乘积记作 $T_n$，再令 $a_n=\lg T_n,n⩾1$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 设 $b_n=\tan a_n\cdot \tan a_{n+1}$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：利用等比数列性质 $c_k\cdot c_{n+3-k}=c_1\cdot c_{n+2}$ 求出 $n+2$ 个数的乘积 $T_n$，再代入 $a_n=\lg T_n$。
2. 第(2)问：观察到 $a_{n+1}-a_n=1$，利用两角差的正切公式 $\tan 1=\tan (a_{n+1}-a_n)$ 变形得 $b_n=\frac{\tan a_{n+1}-\tan a_n}{\tan 1}-1$，利用裂项相消法求和。

✅【答案】

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(1) $a_n=n+2$；

(2) $S_n=\frac{\tan (n+3)-\tan 3}{\tan 1}-n$

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 设这 $n+2$ 个数构成的等比数列为 $\{c_k\}$（$k=1,2,\dots ,n+2$）， 则 $c_1=1$，$c_{n+2}=100$。 由等比数列性质可知，对任意 $1⩽k⩽n+2$，都有： $c_k\cdot c_{n+3-k}=c_1\cdot c_{n+2}=1\times 100=100$ 所以，这 $n+2$ 个数的乘积为： $T_n=c_1\cdot c_2\cdots c_{n+2}=(c_1\cdot c_{n+2}{)}^{\frac{n+2}{2}}=100^{\frac{n+2}{2}}=10^{n+2}$ 则数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=\lg T_n=\lg 10^{n+2}=n+2(n⩾1)$

(2) 由(1)可知 $a_n=n+2$，则 $a_{n+1}-a_n=(n+3)-(n+2)=1$。 由两角差的正切公式： $\tan 1=\tan (a_{n+1}-a_n)=\frac{\tan a_{n+1}-\tan a_n}{1+\tan a_n\cdot \tan a_{n+1}}$ 变形可得： $1+\tan a_n\cdot \tan a_{n+1}=\frac{\tan a_{n+1}-\tan a_n}{\tan 1}$ 即： $b_n=\tan a_n\cdot \tan a_{n+1}=\frac{\tan a_{n+1}-\tan a_n}{\tan 1}-1$

所以数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 为： $S_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$ $S_n=\frac{1}{\tan 1}\left[(\tan a_2-\tan a_1)+(\tan a_3-\tan a_2)+\cdots +(\tan a_{n+1}-\tan a_n)\right]-n$ $S_n=\frac{\tan a_{n+1}-\tan a_1}{\tan 1}-n$ 代入 $a_1=3$，$a_{n+1}=n+3$ 得： $S_n=\frac{\tan (n+3)-\tan 3}{\tan 1}-n$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等比数列对称项乘积性质、对数运算法则、$\tan (A-B)$ 恒等变换的裂项求和。
• 核心方法：
• 乘积转化：$T_n=(c_1{c}_{n+2}{)}^{\frac{n+2}{2}}$；
• 裂项变形：由 $\tan (a_{n+1}-a_n)=\frac{\tan a_{n+1}-\tan a_n}{1+\tan a_n\tan a_{n+1}}$ 且 $a_{n+1}-a_n=1$，得 $\tan a_n\tan a_{n+1}=\frac{\tan a_{n+1}-\tan a_n}{\tan 1}-1$。
• 避坑指南：第(2)问求和时不要忽略式中的常数项 $-1$ 在累加后产生的 $-n$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自等比数列性质与三角函数恒等变形裂项相消的综合考查。
• 结论推广：若数列 $\{x_n\}$ 为公差为 $d$ 的等差数列，则 $\tan x_n\cdot \tan x_{n+1}=\frac{\tan x_{n+1}-\tan x_n}{\tan d}-1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-19 解-数列递推与裂项
• 1993-旧高考理-24 填-数列的极限
• 2006-全国卷I理-22 解-不等式的证明与放缩