2013-广东卷文-19 解-数列递推与裂项

本题导读

本题考查数列的递推关系。核心在于Sₙ与aₙ作差、等比中项列方程的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(文)） 设各项均为正数的数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，满足 $4S_n=a_{n+1}^2-4n-1$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，且 $a_2$，$a_5$，$a_{14}$ 构成等比数列.

(1)证明：$a_2=\sqrt{4a_1+5}$；

(2)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(3)证明：对一切正整数 $n$，有 $\frac{1}{a_1{a}_2}+\frac{1}{a_2{a}_3}+\cdots +\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}<\frac{1}{2}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）$n=1$：$4a_1=a_2^2-5$，$a_2>0$ → $a_2=\sqrt{4a_1+5}$。
2. （2）作差得 $a_{n+1}^2=(a_n+2{)}^2$（$n⩾2$）→ $a_{n+1}=a_n+2$；$a_5^2=a_2{a}_{14}$ 给 $(a_2+6{)}^2=a_2(a_2+24)$ → $a_2=3$；回代 $a_1=1$ → $a_n=2n-1$。
3. （3）$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$，和 $=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)<\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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(1)见解析；(2)$a_n=2n-1$；(3)见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $n=1$ 时，$4S_1=a_2^2-4-1$，即 $4a_1=a_2^2-5\Rightarrow a_2^2=4a_1+5.$ 又 $a_2>0$，故 $a_2=\sqrt{4a_1+5}$。 （2）当 $n⩾2$ 时， $4S_n=a_{n+1}^2-4n-1,4S_{n-1}=a_n^2-4(n-1)-1,$ 两式相减： $4a_n=a_{n+1}^2-a_n^2-4\Rightarrow a_{n+1}^2=a_n^2+4a_n+4=(a_n+2{)}^2.$ 由 $a_n>0$，$a_{n+1}>0$，得 $a_{n+1}=a_n+2$（$n⩾2$）。 故当 $n⩾2$ 时，$a_n=a_2+2(n-2)$。 由 $a_2$，$a_5$，$a_{14}$ 成等比数列，得 $a_5^2=a_2\cdot a_{14}$，即 $(a_2+6{)}^2=a_2(a_2+24)\Rightarrow 12a_2=36\Rightarrow a_2=3.$ 于是 $n⩾2$ 时 $a_n=2n-1$；又由（1）$4a_1=a_2^2-5=4$，得 $a_1=1=2\times 1-1$，也满足。 故 $a_n=2n-1$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）。 （3）由（2），$a_n{a}_{n+1}=(2n-1)(2n+1)$，且 $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right).$ 于是 ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{a_k{a}_{k+1}}=\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right).$ 由 $\frac{1}{2n+1}>0$，得 $\frac{1}{a_1{a}_2}+\frac{1}{a_2{a}_3}+\cdots +\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}<\frac{1}{2}.$ 命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列的递推关系与裂项求和

核心方法：$n⩾2$ 时两式相减得 $a_{n+1}^2=(a_n+2{)}^2$ → $a_{n+1}=a_n+2$；等比条件 $a_5^2=a_2{a}_{14}$ 定 $a_2=3$；$a_n=2n-1$；$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$

避坑指南：$a_{n+1}^2=(a_n+2{)}^2$ 开方取正根（各项均为正数）；求 $a_2$ 用等比中项 $a_5^2=a_2\cdot a_{14}$ 时，$a_5,a_{14}$ 都要用 $a_2$ 表示（$a_n=a_2+2(n-2)$，$n⩾2$）；裂项后 $\frac{1}{2}$ 的系数别丢，收尾 $\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)<1$ 才能得严格小于 $\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$S_n$ 与 $a_n$ 的递推、等比中项定参、裂项相消（广东卷解答题）。

结论推广：$S_n-S_{n-1}$ 作差开方；等比中项列方程；裂项相消 + 放缩。

方法推广：作差化平方 → 正项取正根 → 等比中项求 $a_2$ → 裂项求和证不等式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-17 解-等差数列与裂项求和
• 2013-新课标I卷文-17 解-等差数列裂项求和
• 2013-安徽卷文-19 解-数列递推与裂项