2011-安徽卷理-19 解-导数

本题导读

本题考查不等式的证明。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(理)） (1) 设 $x⩾1,y⩾1$，证明 $x+y+\frac{1}{xy}⩽\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+xy$；

(2) $1<a⩽b⩽c$，证明 ${\log }_{a}b+{\log }_{b}c+{\log }_{c}a⩽{\log }_{b}a+{\log }_{c}b+{\log }_{a}c$.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：采用作差法，将右式减去左式，通过因式分解化为 $(x-1)(y-1)\left(1-\frac{1}{xy}\right)$ 的形式，根据范围判断正负。
2. 第(2)问：利用换底公式，设 $x={\log }_{a}b,y={\log }_{b}c$，则 ${\log }_{a}c=xy$。根据 $1<a⩽b⩽c$ 可得出 $x⩾1,y⩾1$，从而直接套用第(1)问的结论完成证明。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

证明： (1) 对不等式右边与左边作差： $\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+xy\right)-\left(x+y+\frac{1}{xy}\right)$ $=(xy-x-y+1)+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{xy}-1\right)$ $=(x-1)(y-1)-\frac{1}{xy}(xy-x-y+1)$ $=(x-1)(y-1)-\frac{1}{xy}(x-1)(y-1)$ $=(x-1)(y-1)\left(1-\frac{1}{xy}\right)$

因为 $x⩾1,y⩾1$，所以： $x-1⩾0,y-1⩾0,xy⩾1⟹1-\frac{1}{xy}⩾0$ 因此 $(x-1)(y-1)\left(1-\frac{1}{xy}\right)⩾0$，即： $x+y+\frac{1}{xy}⩽\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+xy$

(2) 因为 $1<a⩽b⩽c$，令： $x={\log }_{a}b,y={\log }_{b}c$ 则由对数函数的单调性可知： $x={\log }_{a}b⩾{\log }_{a}a=1,y={\log }_{b}c⩾{\log }_{b}b=1$ 根据换底公式与对数性质： ${\log }_{a}c={\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c=xy$ ${\log }_{b}a=\frac{1}{{\log }_{a}b}=\frac{1}{x},{\log }_{c}b=\frac{1}{{\log }_{b}c}=\frac{1}{y},{\log }_{c}a=\frac{1}{{\log }_{a}c}=\frac{1}{xy}$

将各对数代入原式左右两边：

• 左边 $={\log }_{a}b+{\log }_{b}c+{\log }_{c}a=x+y+\frac{1}{xy}$
• 右边 $={\log }_{b}a+{\log }_{c}b+{\log }_{a}c=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+xy$

由(1)的结论，当 $x⩾1,y⩾1$ 时，有： $x+y+\frac{1}{xy}⩽\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+xy$ 即： ${\log }_{a}b+{\log }_{b}c+{\log }_{c}a⩽{\log }_{b}a+{\log }_{c}b+{\log }_{a}c$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：作差法证明不等式、因式分解技巧、对数换底公式与结构化换元。
• 核心方法：
• 第(1)问：因式分解提公因式 $(x-1)(y-1)$；
• 第(2)问：以第一问结论为铺垫（铺路搭桥法），通过换元法将抽象对数式转化为代数式。
• 避坑指南：第(2)问需明确验证新变量 $x,y$ 的范围是否满足第(1)问的前提条件（即 $x⩾1,y⩾1$），不可遗漏范围的检验。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自选修4-5《不等式选讲》中的经典作差比较与换元转化思想。
• 结论推广：若 $x_1,x_2,\dots ,x_n⩾1$，则形如 $\sum x_i+\prod \frac{1}{x_i}⩽\sum \frac{1}{x_i}+\prod x_i$ 可通过归纳法进行高维推广。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1978-全国卷-04
• 1992-全国卷理-01
• 2010-辽宁卷文-10 单-指对互化换底