2010-辽宁卷文-10 单-指对互化换底

本题导读

考查指对运算。$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}={\log }_{m}2+{\log }_{m}5={\log }_{m}10=2$，$m=\sqrt{10}$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(文)） 设 $2^a=5^b=m$，且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$，则 $m=$()

A. $\sqrt{10}$　　　　　　B. $10$　　　　　　C. $20$　　　　　　D. $100$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a={\log }_{2}m$，$b={\log }_{5}m$。
2. $\frac{1}{a}={\log }_{m}2$，$\frac{1}{b}={\log }_{m}5$（换底推论）。
3. ${\log }_{m}2+{\log }_{m}5={\log }_{m}10=2$。
4. $m^2=10$，$m>0$，$m=\sqrt{10}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $2^a=m$ 得 $a={\log }_{2}m$；由 $5^b=m$ 得 $b={\log }_{5}m$。 由换底公式， $\frac{1}{a}=\frac{1}{{\log }_{2}m}={\log }_{m}2,\frac{1}{b}={\log }_{m}5.$ 于是 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}={\log }_{m}2+{\log }_{m}5={\log }_{m}10=2,$ 即 $m^2=10$。又 $m>0$，故 $m=\sqrt{10}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指对互化与换底公式

核心方法：$a={\log }_{2}m$ 后取倒数，$\frac{1}{{\log }_{2}m}={\log }_{m}2$

避坑指南：${\log }_{m}2+{\log }_{m}5={\log }_{m}10$ 而不是 ${\log }_{m}7$；$m^2=10$ 开方取正（$m=2^a>0$），负根直接舍。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：连等式 $2^a=5^b=m$ 设参互化是标准套路。

结论推广：换底推论 $\frac{1}{{\log }_{a}b}={\log }_{b}a$ 要烂熟。

方法推广：同底对数相加：${\log }_{m}M+{\log }_{m}N={\log }_m(MN)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-09 单-指数对数互化最值
• 2012-北京卷文-12 填-对数运算性质
• 2009-湖南卷文-01 单-对数求值
• 2013-陕西卷文-03 单-对数换底恒等