2011-山东卷文-21 解-导数实际最值

本题导读

本题考查几何体的体积与表面积，以及导数的实际应用。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(文)） 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 $\frac{80\pi }{3}$ 立方米，且 $l⩾2r$.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 $3$ 千元，半球形部分每平方米建造费用为 $c$（$c>3$）千元.设该容器的建造费用为 $y$ 千元.

(1) 写出 $y$ 关于 $r$ 的函数表达式，并求该函数的定义域；

(2) 求该容器的建造费用最小时的 $r$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：(1) 体积方程解出 $l$
2. 步骤2：$l⩾2r$ 化为 $r^3⩽8$ 定定义域
3. 步骤3：(2) $y^{\prime }$ 零点 $r_0={\left(\frac{20}{c-2}\right)}^{1/3}$ 与边界 $2$ 比较
4. 步骤4：按 $c$ 分段

✅【答案】

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(1) $y=\frac{160\pi }{r}+4\pi (c-2)r^2$，定义域 $(0,2]$

(2) 当 $3<c<\frac{9}{2}$ 时 $r=2$；当 $c⩾\frac{9}{2}$ 时 $r={\left(\frac{20}{c-2}\right)}^{1/3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 容积 = 圆柱 + 两个半球：$\pi r^{2}l+\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{80\pi }{3}$，解得 $l=\frac{80}{3r^2}-\frac{4}{3}r$。

由 $l⩾2r$：$\frac{80}{3r^2}-\frac{4}{3}r⩾2r⟺r^3⩽8$，又 $r>0$，故定义域为 $0<r⩽2$。

圆柱侧面积 $2\pi rl$，两个半球表面积合计 $4\pi r^2$，故

$y=3\cdot 2\pi rl+c\cdot 4\pi r^2=6\pi rl+4\pi c{r}^2$。代入 $l$：$6\pi r\left(\frac{80}{3r^2}-\frac{4}{3}r\right)+4\pi c{r}^2=\frac{160\pi }{r}-8\pi r^2+4\pi c{r}^2$，

即 $y=\frac{160\pi }{r}+4\pi (c-2)r^2$（$0<r⩽2$）。

(2) $y^{\prime }(r)=-\frac{160\pi }{r^2}+8\pi (c-2)r=\frac{8\pi }{r^2}[(c-2)r^3-20]$。

令 $y^{\prime }(r)=0$ 得 $r_0={\left(\frac{20}{c-2}\right)}^{1/3}$（$c>3$ 保证 $c-2>0$）。$y^{\prime }$ 在 $r_0$ 左负右正，$r_0$ 是极小值点。

当 $3<c<\frac{9}{2}$ 时，$(c-2)r_0^3=20>(c-2)\cdot 8$，即 $r_0>2$，$y$ 在 $(0,2]$ 上单调递减，最小值在 $r=2$ 处取得；

当 $c⩾\frac{9}{2}$ 时，$r_0⩽2$，最小值在 $r=r_0={\left(\frac{20}{c-2}\right)}^{1/3}$ 处取得（$c=\frac{9}{2}$ 时 $r_0=2$，两式一致）。

综上，建造费用最小时：$r=2$（$3<c<\frac{9}{2}$）或 $r={\left(\frac{20}{c-2}\right)}^{1/3}$（$c⩾\frac{9}{2}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：组合体体积表面积；导数求最值；由参数范围决定最值位置

核心方法：体积方程消元把 $l$ 用 $r$ 表示；定义域由设计约束 $l⩾2r$ 生成；最值位置 = 驻点与区间端点比大小，分界由 $r_0=2$ 反解出 $c=\frac{9}{2}$

避坑指南：表面积只算圆柱侧面（两个半球已包住两端），别把圆柱底面也算进去；$y$ 中的 $(c-2)$ 来自”半球单价 $c$ 减去折算的 $2$“，判别分界是 $c=\frac{9}{2}$ 而非 $c=3$；结论必须按 $c$ 分段陈述。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数实际应用题与 2013-重庆卷文-20、2012-江西卷文-21、2011-北京卷文-07 同族。

结论推广：推广：$y=\frac{A}{r}+B{r}^2$（$B>0$）在 $\left(0,r_{\max }\right]$ 上的最小值位置 $r_0={\left(\frac{A}{2B}\right)}^{1/3}$，与端点比较的通用判据是 $(c-2)r_{\max }^3$ 与 $A/2$ 的大小。

方法推广：实际最值题三步：几何关系消元 → 定义域（千万别丢）→ 驻点与端点分类；分段结论要完整覆盖参数范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷文-20 解-圆柱建池体积最大
• 2012-江西卷文-21 解-含参导数单调性与最值
• 2011-北京卷文-07 单-均值不等式费用