2010-浙江卷文-16 填-增长率不等式

本题导读

考查增长率建模。总额 $=4360+1000t+1000t^2⩾7000$，$t⩾1.2$，$x⩾20$。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(文)） 某商家一月份至五月份累计销售额达 $3860$ 万元，预测六月份销售额为 $500$ 万元，七月份销售额比六月份递增 $x\%$，八月份销售额比七月份递增 $x\%$，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等. 若一月至十月份销售总额至少达 $7000$ 万元，则 $x$ 的最小值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $t=1+\frac{x}{100}$。七月 $500t$，八月 $500t^2$，九、十月合计 $500t+500t^2$。
2. 总额 $=3860+500+500t+500t^2+500t+500t^2=4360+1000t+1000t^2$。
3. $4360+1000t+1000t^2⩾7000⟺t^2+t-2.64⩾0$。
4. $t⩾\frac{-1+\sqrt{1+10.56}}{2}=\frac{-1+3.4}{2}=1.2$。
5. $x\%⩾0.2$，$x⩾20$。

✅【答案】

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$20$

✍【详细解析】

Abstract

设 $t=1+\frac{x}{100}(t>0)$。 七月份销售额 $500t$ 万元，八月份 $500t^2$ 万元，九、十月份销售总额等于七、八月份之和，即 $500t+500t^2$ 万元。 一月至十月份销售总额为 $3860+500+500t+500t^2+(500t+500t^2)=4360+1000t+1000t^2\text{（万元）}.$ 由题意： $4360+1000t+1000t^2⩾7000⟺t^2+t-2.64⩾0,$ 解得 $t⩾\frac{-1+\sqrt{1+4\times 2.64}}{2}=\frac{-1+\sqrt{11.56}}{2}=\frac{-1+3.4}{2}=\mathrm{1.2.}$ 即 $1+\frac{x}{100}⩾1.2$，$x⩾20$。 故 $x$ 的最小值为 $20$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：增长率模型与不等式

核心方法：设 $t=1+x\%$ 表示各月销售额，总额不等式解 $t$

避坑指南：九、十月份销售总额等于七、八月份之和，两段都要计入；$\sqrt{11.56}=3.4$ 的开方要算准。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复利型增长用乘法因子 $t=1+x\%$ 统一表达。

结论推广：应用题列式后回到二次不等式，注意 $t>0$ 的取舍。

方法推广：“至少”对应 $⩾$，最小值在等号处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-20 解-数列递推与增长率
• 2014-湖南卷理-08 单-增长率问题
• 2009-四川卷文-10 单-线性规划利润
• 2011-山东卷文-21 解-导数实际最值