2011-山东卷理-08 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及直线与圆相切的几何条件。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的两条渐近线均和圆 $C:x^2+y^2-6x+5=0$ 相切，且双曲线的右焦点为圆 $C$ 的圆心，则该双曲线的方程为 ()

A. $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$

C. $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将圆的一般方程配方，求出圆心坐标和半径 $r$。
2. 由圆心为双曲线右焦点，确定半焦距 $c$ 的值。
3. 写出双曲线渐近线方程 $bx\pm ay=0$，利用点到直线距离公式（相切条件 $d=r$）建立 $a,b,c$ 之间的几何关系并求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

圆 $C$ 的方程配方得： $(x-3{)}^2+y^2=4$ 所以圆心为 $(3,0)$，半径 $r=2$。 已知双曲线的右焦点为圆 $C$ 的圆心 $(3,0)$， 故半焦距： $c=3⟹c^2=a^2+b^2=9$ 双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，即 $bx\pm ay=0$。 圆心 $(3,0)$ 到渐近线 $bx-ay=0$ 的距离等于半径 $r=2$： $d=\frac{|3b|}{\sqrt{b^2+a^2}}=\frac{3b}{c}=\frac{3b}{3}=b$ 因为直线与圆相切，所以： $d=r⟹b=2$ 从而： $b^2=4$ 由 $a^2=c^2-b^2$ 得： $a^2=9-4=5$ 因此，双曲线的方程为： $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：双曲线焦点到渐近线的距离恒等于虚半轴长 $b$。
• 核心方法：
• 几何秒杀结论：焦点 $(c,0)$ 到渐近线 $bx\pm ay=0$ 的距离 $d=\frac{bc}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{bc}{c}=b$；
• 相切条件即 $b=r=2$。
• 避坑指南：注意圆的半径是 $\sqrt{4}=2$ 而不是 4；辨清方程中 $a^2$ 与 $b^2$ 的位置，避免错选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自圆锥曲线经典几何性质：“以焦点为圆心、虚半轴长 $b$ 为半径的圆与渐近线相切”。
• 结论推广：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的焦点到其任意一条渐近线的垂直距离恒为定值 $b$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-03 填-渐近线
• 2014-浙江卷理-16 填-渐近线
• 1981-全国卷理-09