2011-山东卷理-13 填-程序框图

本题导读

本题考查循环结构与条件分支程序框图，以及中国剩余定理。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(理)） 执行如图所示的程序框图，输入 $l=2,m=3,n=5$，则输出的 $y$ 的值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 代入输入值 $l=2,m=3,n=5$，判断 $l^2+m^2+n^2=0$ 是否成立，选择走“否”分支。
2. 计算 $y$ 的初始值：$y=70l+21m+15n$。
3. 进入循环判断条件 $y>105$：若为“是”，则不断执行 $y=y-105$；直到 $y⩽105$ 为“否”跳出循环，输出 $y$。

✅【答案】

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68

✍【详细解析】

Abstract

输入非负整数 $l=2,m=3,n=5$。 判断条件： $l^2+m^2+n^2=2^2+3^2+5^2=4+9+25=38\ne 0$ 条件不成立，走“否”分支。 执行运算： $y=70l+21m+15n=70\times 2+21\times 3+15\times 5=140+63+75=278$ 进入循环结构判断 $y>105$：

• 第一次循环：$y=278>105$ 为“是”，执行 $y=278-105=173$；
• 第二次循环：$y=173>105$ 为“是”，执行 $y=173-105=68$；
• 第三次循环：$y=68>105$ 为“否”，退出循环。 输出 $y=68$。 故答案为：68。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：程序框图的流程走向控制与多重减法循环。
• 核心方法：
• 逐步代入跟踪法；
• 模运算分析法：该循环的本质是求 $y=278(\mathrm{mod}105)$（当余数为 0 时取 105），$278=2\times 105+68$，直接得出输出值为 68。
• 避坑指南：
• 第一处判断条件为 $l^2+m^2+n^2=0$，因 $l,m,n$ 均为正数，平方和不为 0，切勿误走“是”分支直接输出 105；
• 累减 105 时仔细核算减法，避免算术失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自中国古代数学名著《孙子算经》中的“物不知数”问题（中国剩余定理/鬼谷算/韩信点兵）：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知”。系数 $70,21,15$ 分别满足对模 $3,5,7$ 的同余逆元构造，最小公倍数为 $3\times 5\times 7=105$。
• 结论推广：该程序用来求解满足 $x\equiv l(\mathrm{mod}3)$，$x\equiv m(\mathrm{mod}5)$，$x\equiv n(\mathrm{mod}7)$ 在 $[1,105]$ 范围内的唯一正整数解。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2008-山东卷文-14 填-程序框图循环输出
• 2008-广东卷文-13 填-程序框图整除输出
• 2009-山东卷文-15 填-程序框图