2011-广东卷理-04 单-函数

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及绝对值函数的性质。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(理)） 设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 分别是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ()

A. $f(x)+|g(x)|$ 是偶函数　　　　　B. $f(x)-|g(x)|$ 是奇函数

C. $|f(x)|+g(x)$ 是偶函数　　　　　D. $|f(x)|-g(x)$ 是奇函数

🔍【思路分析】

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1. 利用奇偶性定义：$f(-x)=f(x)$，$g(-x)=-g(x)$。
2. 考察 $|g(-x)|=|-g(x)|=|g(x)|$，确定 $|g(x)|$ 是偶函数。
3. 根据偶函数与偶函数的和差仍为偶函数，逐项验证选项。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $g(x)$ 为奇函数，所以 $g(-x)=-g(x)$。 则 $|g(-x)|=|-g(x)|=|g(x)|$，因此 $|g(x)|$ 是偶函数。 又 $f(x)$ 是偶函数，即 $f(-x)=f(x)$。 令 $F(x)=f(x)+|g(x)|$，则： $F(-x)=f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|g(x)|=F(x)$ 所以 $f(x)+|g(x)|$ 恒为偶函数，(A) 项正确。 对于 (B)、(C)、(D)，令 $f(x)=1,g(x)=x$ 检验可知均不成立。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：函数奇偶性的代数定义与绝对值运算对符号的影响。
• 核心方法：定义验证法、特殊值/反例验证法。
• 避坑指南：奇函数取绝对值后变为偶函数，不可误认为仍是奇函数。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：函数的对称变换与模长函数的复合性质。
• 结论推广：设 $h(x)$ 为偶函数，$g(x)$ 为定义在实数集上的任意函数，若 $h$ 为奇函数，则 $|h(x)|$ 必为偶函数；两偶函数之和必为偶函数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性
• 2014-江苏卷-19 解-函数奇偶性