2011-新课标卷理-05 单-三角函数定义

本题导读

本题考查任意角三角函数的定义，以及二倍角余弦公式。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)） 已知角 $\theta$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的正半轴重合，终边在直线 $y=2x$ 上，则 $\cos 2\theta =$ ()

A. $-\frac{4}{5}$　　　　　　B. $-\frac{3}{5}$　　　　　　C. $\frac{3}{5}$　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

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1. 由角 $\theta$ 终边在直线 $y=2x$ 上，得到 $\tan \theta =2$。
2. 利用二倍角余弦公式将 $\cos 2\theta$ 转化为关于 $\tan \theta$ 的分式：$\cos 2\theta =\frac{{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }=\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$。
3. 代入 $\tan \theta =2$ 计算得出结果。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为角 $\theta$ 的终边在直线 $y=2x$ 上， 由任意角三角函数的定义，可得： $\tan \theta =2$ 由二倍角余弦公式及同角三角函数商数关系（弦化切）： $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =\frac{{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }=\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$ 代入 $\tan \theta =2$ 得： $\cos 2\theta =\frac{1-2^2}{1+2^2}=\frac{1-4}{1+4}=-\frac{3}{5}$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：终边所在直线斜率与正切值的对应关系、二倍角万能公式（弦化切）。
• 核心方法：齐次式“弦化切”技巧：分子分母同除以 ${\cos }^2\theta$。
• 避坑指南：角 $\theta$ 的终边可能在第一象限也可能在第三象限，但由于二倍角余弦 $\cos 2\theta$ 与 ${\tan }^2\theta$ 直接关联，象限的不确定性不影响最终计算结果；计算时需看清符号，避免误选正值（C）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：必修四三角函数章节中任意角三角函数几何定义与齐次化求值的经典范例。
• 结论推广：若角 $\theta$ 的终边在直线 $y=kx$ 上，则 $\tan \theta =k$，且恒有 $\cos 2\theta =\frac{1-k^2}{1+k^2}$，$\sin 2\theta =\frac{2k}{1+k^2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2000-上海卷理-16 单-任意角三角函数的定义
• 2008-江苏卷-15 解-三角定义求值
• 2012-山东卷文-16 填-圆的滚动与点的坐标