2011-新课标卷理-21 解-几何证明

本题导读

本题考查导数的几何意义与切线方程。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)） 已知函数 $f(x)=\frac{a\ln x}{x+1}+\frac{b}{x}$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $x+2y-3=0$.

(1) 求 $a,b$ 的值；

(2) 如果当 $x>0$，且 $x\ne 1$ 时，$f(x)>\frac{\ln x}{x-1}+\frac{k}{x}$，求 $k$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：切点 $(1,f(1))$ 在切线上，由 $1+2f(1)-3=0$ 求得 $f(1)=1$；切线斜率为 $-\frac{1}{2}$，对 $f(x)$ 求导，令 $f^{\prime }(1)=-\frac{1}{2}$，联立解出 $a$ 和 $b$。
2. 对 (2)：将 $a,b$ 代入，原不等式变形为关于 $k$ 的参变分离式：$k<1+\left(\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x-1}\right)x\ln x$；或将含 $k$ 项移项后构造函数，利用两端趋近于 $1$ 时的必要性极限确定临界值 $k⩽0$，再利用导数证明充分性。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 由切线方程 $x+2y-3=0$ 可知，当 $x=1$ 时，$y=1$， 所以切点坐标为 $(1,1)$，即 $f(1)=1$。 又切线的斜率 $k_{\text{切}}=-\frac{1}{2}$，即 $f^{\prime }(1)=-\frac{1}{2}$。 对 $f(x)$ 求导： $f^{\prime }(x)=a\cdot \frac{\frac{1}{x}(x+1)-\ln x}{(x+1{)}^2}-\frac{b}{x^2}$ 代入 $x=1$： $f(1)=\frac{a\ln 1}{1+1}+\frac{b}{1}=b=1$ $f^{\prime }(1)=a\cdot \frac{\frac{1}{1}(1+1)-0}{(1+1{)}^2}-\frac{b}{1^2}=\frac{2a}{4}-b=\frac{a}{2}-b$ 因为 $b=1$ 且 $f^{\prime }(1)=-\frac{1}{2}$，所以： $\frac{a}{2}-1=-\frac{1}{2}⟹\frac{a}{2}=\frac{1}{2}⟹a=1$ 故 $a=1$，$b=1$。

(2) 由 (1) 知 $f(x)=\frac{\ln x}{x+1}+\frac{1}{x}$。 不等式 $f(x)>\frac{\ln x}{x-1}+\frac{k}{x}$ 即为： $\frac{\ln x}{x+1}+\frac{1}{x}>\frac{\ln x}{x-1}+\frac{k}{x}$ 整理得： $\frac{1-k}{x}>\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\ln x=\frac{2\ln x}{x^2-1}$ 因为 $x>0$ 且 $x\ne 1$，两边同乘以 $x$，不等式等价于： $1-k>\frac{2x\ln x}{x^2-1}$ 即： $k<1-\frac{2x\ln x}{x^2-1}$ 设 $g(x)=\frac{2x\ln x}{x^2-1}$（$x>0$ 且 $x\ne 1$）。 先考查 $x\to 1$ 时的极限： ${\lim }_{x\to 1}g(x)={\lim }_{x\to 1}\frac{2x\cdot \frac{1}{x}+2\ln x}{2x}={\lim }_{x\to 1}\frac{2+2\ln x}{2x}=1$ 故若不等式在 $x>0$ 且 $x\ne 1$ 上恒成立，必有 $k⩽1-1=0$。

下面证明：对任意 $x>0$ 且 $x\ne 1$，恒有 $g(x)<1$。 即证：$\frac{2x\ln x}{x^2-1}<1$。 ① 当 $x>1$ 时，$x^2-1>0$，待证不等式等价于： $2x\ln x<x^2-1⟺\ln x<\frac{x^2-1}{2x}=\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)$ 设 $h(x)=\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)-\ln x$（$x⩾1$）。 求导得： $h^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)-\frac{1}{x}=\frac{x^2-2x+1}{2x^2}=\frac{(x-1{)}^2}{2x^2}$ 当 $x>1$ 时，$h^{\prime }(x)>0$，所以 $h(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上单调递增。 因此，当 $x>1$ 时，$h(x)>h(1)=0$。 即 $\ln x<\frac{x^2-1}{2x}$ 成立，故 $g(x)<1$。

② 当 $0<x<1$ 时，$x^2-1<0$，待证不等式等价于： $2x\ln x>x^2-1⟺\ln x>\frac{x^2-1}{2x}$ 即 $h(x)<0$。 同理，当 $0<x<1$ 时，$h^{\prime }(x)=\frac{(x-1{)}^2}{2x^2}>0$， 所以 $h(x)$ 在 $(0,1]$ 上单调递增。 因此，当 $0<x<1$ 时，$h(x)<h(1)=0$。 即 $2x\ln x>x^2-1$ 成立，故同样有 $g(x)=\frac{2x\ln x}{x^2-1}<1$。

综上所述，对任意 $x>0$ 且 $x\ne 1$，恒有 $g(x)<1$。 从而： $1-g(x)>0$ 且当 $x\to 1$ 时，$1-g(x)\to 0$。 所以要使 $k<1-g(x)$ 对所有 $x\in (0,1)\cup (1,+\infty )$ 恒成立，必须且只需： $k⩽0$ 即 $k$ 的取值范围为 $(-\infty ,0]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：导数切线几何意义、分式通分合并、参变分离、构造差函数证明对数基本不等式。
• 核心方法：
• 第 (1) 问牢记点在曲线上（$f(1)=1$）与导数即斜率（$f^{\prime }(1)=-\frac{1}{2}$）两个等式；
• 第 (2) 问参变分离后，通过对称性或将 $2x$ 移至对侧，构造经典双曲差结构 $h(x)=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})-\ln x$ 降低求导阶数。
• 避坑指南：
• 参变分离去分母时，注意当 $0<x<1$ 时 $x^2-1<0$，不等号方向需要改变，必须分 $x>1$ 与 $0<x<1$ 讨论；
• 端点 $x=1$ 处的取值通过洛必达法则或局部泰勒/极限可直接锁定临界边界 $k=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自经典分析学中对数平均值不等式（Logarithmic Mean Inequality）：$\sqrt{xy}<L(x,y)<\frac{x+y}{2}$，其无量纲变形即为 $\ln t<\frac{t^2-1}{2t}(t>1)$。
• 结论推广：对任意 $t>1$，有经典不等式链 $\frac{2(t-1)}{t+1}<\ln t<\frac{t^2-1}{2t}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2008-江苏卷-08 填-切线求参数
• 2009-新课标卷文-13 填-指数曲线切线