2011-江西卷文-05 单-等差数列和差定首项

本题导读

本题考查等差数列前 $n$ 项和，以及两项和与公差。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(文)） 设 $\{a_n\}$ 为等差数列，公差 $d=-2$，$S_n$ 为其前 $n$ 项和.若 $S_{10}=S_{11}$，则 $a_1=$ ()

A. $18$　　　　　　　B. $20$　　　　　　　C. $22$　　　　　　　D. $24$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$S_{11}-S_{10}=a_{11}=0$
2. 步骤2：再由 $a_{11}=a_1+10d$ 解 $a_1$

✅【答案】

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B$20$

✍【详细解析】

Abstract

$S_{11}-S_{10}=a_{11}=0$。

等差数列通项：$a_{11}=a_1+10d=a_1-20=0$，故 $a_1=20$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$S_n$ 的差与通项的关系（$S_n-S_{n-1}=a_n$）；等差数列通项公式

核心方法：把"$S_{10}=S_{11}$"翻译成"$a_{11}=0$"，再用通项公式回代

避坑指南：$S_{10}=S_{11}$ 说明第 $11$ 项为 $0$，不是前 $10$ 项和为 $0$，也不是公差为 $0$；代通项时 $a_{11}=a_1+10d$ 的下标差是 $10$ 不是 $11$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列和与项题与 2011-辽宁卷文-15、2012-辽宁卷文-04 同族。

结论推广：推广：$S_m=S_n$（$m\ne n$）$⟺a_{m+1}+\cdots +a_n=0$；对等差数列它进一步等价于”中间项为零”——$S_{10}=S_{11}$ 即 $a_{11}=0$（中点恰在第 $11$ 项），配合通项一歩求首项。

方法推广：等差数列小题：见到 $S$ 的等式先作差化成项，再用通项或下标和性质，避免展开求和公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-辽宁卷文-15 填-等差数列和差性质
• 2012-辽宁卷文-04 单-等差数列性质