2011-辽宁卷文-17 解-正余弦定理解三角形

本题导读

本题考查正弦定理，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(文)） $△ABC$ 的三个内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，$a\sin A\sin B+b{\cos }^{2}A=\sqrt{2}a$.

(1)求 $\frac{b}{a}$；

(2)若 $c^2=b^2+\sqrt{3}{a}^2$，求 $B$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：（1）边角互化后约去公因子
2. 步骤2：（2）用余弦定理结合 $c^2=b^2+\sqrt{3}{a}^2$ 求 $\cos B$

✅【答案】

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(1) $\frac{b}{a}=\sqrt{2}$

(2) $B=45^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由正弦定理，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，把 $a=\lambda \sin A$，$b=\lambda \sin B$ 代入条件：

$\lambda \sin A\sin A\sin B+\lambda \sin B{\cos }^{2}A=\sqrt{2}\lambda \sin A$，

约去 $\lambda$：$\sin B({\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A)=\sqrt{2}\sin A$，即 $\sin B=\sqrt{2}\sin A$。

故 $\frac{b}{a}=\frac{\sin B}{\sin A}=\sqrt{2}$。

（2）$c^2=b^2+\sqrt{3}{a}^2=2a^2+\sqrt{3}{a}^2=(2+\sqrt{3})a^2$，故 $c=a\sqrt{2+\sqrt{3}}$。

由余弦定理：$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{a^2+(2+\sqrt{3})a^2-2a^2}{2a\cdot a\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}$。

由 $(1+\sqrt{3}{)}^2=4+2\sqrt{3}=2(2+\sqrt{3})$，知 $1+\sqrt{3}=\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}$，故 $\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

又 $0<B<\pi$，故 $B=\frac{\pi }{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理的边角互化；余弦定理；恒等变形 $1+\sqrt{3}=\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}$

核心方法：条件中”边与角的三角函数混合”一律用正弦定理统一成角（或统一成边）；求角用余弦定理反解 $\cos B$

避坑指南：约去 $\lambda$ 后 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ 的化简要写明；$\cos B=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ 不易直接看出是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，用平方关系 $（1+\sqrt{3}{)}^2=2(2+\sqrt{3})$ 验证是关键一步，数值估算也能辅助检验（$B\approx 45^{\circ }$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形题与 2012-新课标卷文-17、2011-湖南卷文-17 同族。

结论推广：推广：$a\sin A\sin B+b{\cos }^{2}A=ca$ 型条件，正弦定理统一为角后常出现 ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ 的化简；$c^2=b^2+k{a}^2$ 给出三边比例，余弦定理反角即可，注意用代数恒等式识别特殊角。

方法推广：解三角形大题：第一步永远”统一边或角”；求角先算 $\cos$ 值，并用平方关系或计算器粗验是否特殊角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2011-湖南卷文-17 解-正弦定理与三角最值