2011-江西卷文-20 解-三次导数极值与区间长度

本题导读

本题考查导数与极值最值，以及待定系数。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(文)） 设 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+m{x}^2+nx$.

(1)如果 $g(x)=f^{\prime }(x)-2x-3$ 在 $x=-2$ 处取得最小值 $-5$，求 $f(x)$ 的解析式；

(2)如果 $m+n<10$（$m$，$n\in {\mathbf{N}}_{+}$），$f(x)$ 的单调递减区间的长度是正整数，试求 $m$ 和 $n$ 的值.（注：区间 $(a,b)$ 的长度为 $b-a$）

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：（1）$g(x)=x^2+(2m-2)x+(n-3)$ 在 $x=-2$ 取最小值 $-5$
2. 步骤2：顶点与函数值两条件解 $m$
3. 步骤3：$n$
4. 步骤4：（2）递减区间长 $2\sqrt{m^2-n}$ 为正整数

✅【答案】

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(1) $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+2x$

(2) $(m,n)=(2,3)$ 或 $(3,5)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f^{\prime }(x)=x^2+2mx+n$，$g(x)=x^2+(2m-2)x+(n-3)$，是开口向上的二次函数。

在 $x=-2$ 取最小值：顶点横坐标 $-\frac{2m-2}{2}=1-m=-2$，得 $m=3$。

$g(-2)=4+(2m-2)(-2)+(n-3)=4-8+n-3=n-7=-5$，得 $n=2$。

故 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+2x$。

（2）$f^{\prime }(x)=x^2+2mx+n<0$ 的解集为 $(x_1,x_2)$，其中 $x_{1,2}=-m\pm \sqrt{m^2-n}$（需 $m^2>n$）。

区间长度 $x_2-x_1=2\sqrt{m^2-n}$ 为正整数，设 $2\sqrt{m^2-n}=k$（$k\in {\mathbf{N}}_{+}$），则 $m^2-n=\frac{k^2}{4}$，$k$ 为偶数，设 $k=2t$，$m^2-n=t^2$，即 $n=m^2-t^2=(m-t)(m+t)$。

约束 $m+n<10$，$m$，$n\in {\mathbf{N}}_{+}$，$n<m^2$。

逐一检验：$m=1$：$n<1$，无正整数解；$m=2$：$n<4$，$t^2=4-n$，$n=3$ 时 $t=1$，得 $(2,3)$；$m=3$：$n<9$，$t^2=9-n$，$n=5$ 时 $t=2$，得 $(3,5)$（$n=8$ 时 $t=1$ 但 $m+n=11⩾10$ 舍）；$m=4$：$n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 且 $t^2=16-n$，$t⩾1$ 时 $n⩽15$，但 $m+n<10$ 要求 $n<6$，$t^2>10$ 无平方数；$m⩾5$ 时 $m+n<10$ 要求 $n<5$，而 $n<m^2$ 且 $m^2-n$ 为完全平方数需 $n$ 接近 $m^2$，矛盾。

故 $(m,n)=(2,3)$ 或 $(3,5)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数的顶点与最值；导数决定单调区间；区间长度的整数约束与分类检验

核心方法：（1）把 $g$ 整理为标准二次式，“在何处取何最值”给顶点与函数值两条方程；（2）把”递减区间长度”翻译成两根之差 $2\sqrt{m^2-n}$，按 $m$ 从小到大分类检验

避坑指南：$g(x)=f^{\prime }(x)-2x-3$ 中 $-2x$ 会改一次项系数（$2m\to 2m-2$），别只写 $f^{\prime }$；区间长度是两根之差 $2\sqrt{m^2-n}$，不是判别式的算术平方根；$k$ 必须是偶数（$k^2$ 是 $4$ 的倍数），漏掉这一步会把 $(m,n)=(2,\cdot )$ 的奇数长度误纳入；检验时 $m+n<10$ 是严格不等式，$n=8$，$m=3$ 这组会被 $11⩾10$ 卡掉。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参导数题与 2012-江西卷文-21、2011-福建卷文-22、2013-大纲卷文-21 同族。

结论推广：推广：三次函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+m{x}^2+nx$ 的递减区间长为 $2\sqrt{m^2-n}$（$m^2>n$ 时存在），长度为整数等价于 $m^2-n$ 为完全平方数——即 $n=m^2-t^2$，配合不等式约束后就是小型整数规划，逐 $m$ 检验即可。

方法推广：导数含参大题：先把 $g$ 化标准形用顶点定参；“区间长度”类约束先写长度的解析式，再整型化（完全平方 + 奇偶）后逐一检验，检验时严格核对边界不等号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2012-江西卷文-21 解-含参导数单调性与最值
• 2011-福建卷文-22 解-导数单调性与值域
• 2013-大纲卷文-21 解-导数单调性与恒成立