2011-江西卷理-04 单-切线斜率

本题导读

本题考查导数的运算，以及导数与单调性。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(理)） 若 $f(x)=x^2-2x-4\ln x$，则 $f^{\prime }(x)>0$ 的解集为 ()

A. $(0,+\infty )$　　B. $(-1,0)\cup (2,+\infty )$　　C. $(2,+\infty )$　　D. $(-1,0)$

🔍【思路分析】

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1. 确定原函数的定义域。
2. 对 $f(x)$ 求导，建立不等式 $f^{\prime }(x)>0$。
3. 结合定义域解分式/一元二次不等式。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty )$。 求导得：$f^{\prime }(x)=2x-2-\frac{4}{x}=\frac{2x^2-2x-4}{x}=\frac{2(x-2)(x+1)}{x}$。 令 $f^{\prime }(x)>0$，由于 $x>0$，等价于： $(x-2)(x+1)>0⟹x>2$ 或 $x<-1$。 结合 $x>0$，得 $x>2$。 故 $f^{\prime }(x)>0$ 的解集为 $(2,+\infty )$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：导数的基本公式及导数大于零解集的求解。
• 核心方法：求导化简成有理分式后，借助定义域符号去分母求解。
• 避坑指南：忽视对数函数 $\ln x$ 的定义域 $x>0$ 会误选 B。做导数题必须牢记“定义域优先”。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：多项式与对数复合型函数单调性分析的最基础导数题型。
• 结论推广：函数 $f(x)=\frac{1}{2}{x}^2-ax-b\ln x$ 的极值点即为二次方程 $x^2-ax-b=0$ 的正实数根。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-09 填-一元二次不等式
• 1977-上海理-05
• 1977-福建卷-02(1)