2011-江西卷理-09 单-双曲线性质

本题导读

本题考查圆的方程与性质，以及直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(理)） 若曲线 $C_1:x^2+y^2-2x=0$ 与曲线 $C_2:y(y-mx-m)=0$ 有四个不同的交点，则实数 $m$ 的取值范围是 ()

A. $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$　　　　　　　　　　　　　　B. $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},0\right)\cup \left(0,\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

C. $\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]$　　　　　　　　　　　　　　D. $\left(-\infty ,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty \right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简 $C_1$ 为标准圆，拆分 $C_2$ 为两条直线 $l_1,l_2$。
2. 先求出 $l_1$ 与圆的交点数，推导出 $l_2$ 需与圆有两个不同的非重合交点。
3. 利用圆心到直线的距离小于半径建立不等式，并扣除重合点情形。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

曲线 $C_1$ 配方得：$(x-1{)}^2+y^2=1$，表示以 $(1,0)$ 为圆心，半径 $R=1$ 的圆。 曲线 $C_2$ 可分解为两条直线：$l_1:y=0$ 和 $l_2:mx-y+m=0$。 对于直线 $l_1:y=0$（即 $x$ 轴），代入 $C_1$ 得 $(x-1{)}^2=1⟹x=0$ 或 $x=2$。 故 $l_1$ 与圆 $C_1$ 已有两个固定交点 $(0,0)$ 和 $(2,0)$。 若两曲线共有四个不同交点，则直线 $l_2$ 必须满足：

1. 与圆 $C_1$ 相交于两个不同的点，即圆心 $(1,0)$ 到 $l_2$ 的距离 $d<R=1$： $d=\frac{|m\cdot 1-0+m|}{\sqrt{m^2+(-1{)}^2}}=\frac{|2m|}{\sqrt{m^2+1}}<1$ 两边平方得：$4m^2<m^2+1⟺3m^2<1⟺-\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{\sqrt{3}}{3}$。
2. 直线 $l_2$ 不能经过已有的交点 $(0,0)$ 和 $(2,0)$： 代入 $(0,0)$ 得 $m=0$；代入 $(2,0)$ 得 $3m=0⟹m=0$。 若 $m=0$，$l_2$ 与 $l_1$ 重合，此时两曲线只有两个交点。 综上，$m$ 的取值范围为 $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},0\right)\cup \left(0,\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二元二次方程的因子分解及直线与圆的位置关系。
• 核心方法：利用点到直线距离公式 $d<R$ 结合端点及重合点的排除。
• 避坑指南：容易忽略交点重复的情况（当 $m=0$ 时两直线重合，只产生 2 个交点），直接误选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：代数退化曲线与解析几何相交理论的基础整合题。
• 结论推广：形如 $(y-k_{1}x-b_1)(y-k_{2}x-b_2)=0$ 与二次曲线相交的问题，本质是转化为两个一元系统各自判定相交且公共交点判重。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-09 单-直线与圆
• 2014-江苏卷-09 填-弦长问题
• 2008-陕西卷理-05