2011-江西卷理-14 填-椭圆

本题导读

本题考查切点弦方程，以及椭圆的标准方程与几何性质。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(理)） 若椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的焦点在 $x$ 轴上，过点 $\left(1,\frac{1}{2}\right)$ 作圆 $x^2+y^2=1$ 的切线，切点分别为 $A,B$，直线 $AB$ 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用切点弦方程公式求出直线 $AB$ 的方程。
2. 求出直线 $AB$ 与坐标轴的截距，确定椭圆的右焦点坐标 $(c,0)$ 和上顶点坐标 $(0,b)$。
3. 结合 $a^2=b^2+c^2$ 得到 $a^2$，写出椭圆方程。

✅【答案】

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$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$

✍【详细解析】

Abstract

过点 $P(x_0,y_0)$ 向圆 $x^2+y^2=r^2$ 引切线，两切点连线（切点弦）方程为： $x_{0}x+y_{0}y=r^2$ 代入点 $P\left(1,\frac{1}{2}\right)$ 和圆半径 $r=1$，得切点弦 $AB$ 所在直线方程为： $1\cdot x+\frac{1}{2}y=1⟺x+\frac{1}{2}y=1$ 即直线 $AB$ 的截距式为： $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}=1$ 由题意，直线 $AB$ 经过椭圆的右焦点 $(c,0)$ 和上顶点 $(0,b)$，故： $c=1,b=2$ 因为椭圆焦点在 $x$ 轴上，所以： $a^2=b^2+c^2=2^2+1^2=5$ 因此，椭圆的标准方程为： $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$ 故答案为：$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：圆的切点弦方程直接套用与椭圆基本参数关系 $a^2=b^2+c^2$。
• 核心方法：过点 $(x_0,y_0)$ 的切点弦方程公式 $x_{0}x+y_{0}y=R^2$。
• 避坑指南：椭圆焦点在 $x$ 轴上，上顶点对应纵轴截距 $b=2$，右焦点对应横轴截距 $c=1$，切勿将横轴截距误当作长半轴 $a$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自高等几何中对极点与极线（Polar and Pole）理论在二次曲线切弦中的简化应用。
• 结论推广：过二次曲线 $\frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}=1$ 外一点 $P(x_0,y_0)$ 所引两条切线的切点弦方程恒为 $\frac{x_{0}x}{A}+\frac{y_{0}y}{B}=1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-09 填-椭圆方程与性质
• 2013-天津卷理-18 解-椭圆方程与性质
• 2013-新课标I卷理-10 单-椭圆方程与性质