2013-上海卷理-09 填-椭圆方程与性质

本题导读

本题考查椭圆，以及椭圆的标准方程与几何性质。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)） 设 $AB$ 是椭圆 $\Gamma$ 的长轴，点 $C$ 在 $\Gamma$ 上，且 $\angle CBA=\frac{\pi }{4}$.若 $AB=4,BC=\sqrt{2}$，则 $\Gamma$ 的两个焦点之间的距离为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系：
   • 椭圆的长轴在 $AB$ 上，已知 $AB=4$，则长半轴 $a=2$。
   • 以 $AB$ 所在直线为 $x$ 轴，长轴中点（中心）为原点建立直角坐标系。
   • 此时椭圆方程可设为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($0<b<2$)。
2. 确定点 $C$ 的坐标：
   • 因为 $AB$ 为长轴，所以 $A(2,0),B(-2,0)$（或者互换）。
   • 已知 $BC=\sqrt{2},\angle CBA=45^{\circ }$。
   • 利用极坐标或三角函数，点 $C$ 相对于点 $B$ 的增量为 $(\sqrt{2}\cos 45^{\circ },\sqrt{2}\sin 45^{\circ })=(1,1)$。
   • 得到 $C$ 点坐标。
3. 求解椭圆基本量：
   • 将点 $C$ 代入椭圆方程求出 $b^2$。
   • 利用 $c^2=a^2-b^2$ 求出半焦距 $c$。
4. 得出结论：焦距为 $2c$。

✅【答案】

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$\frac{4\sqrt{6}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建系与设方程 以椭圆中心为原点，长轴所在直线为 $x$ 轴建立直角坐标系。 由 $AB=4$ 得 $2a=4⟹a=2$。 设椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($b>0$)。 则端点 $B(-2,0)$。

第二步：求点 $C$ 坐标 由于 $\angle CBA=\frac{\pi }{4}$ 且 $BC=\sqrt{2}$，过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $H$。 在 $Rt△BHC$ 中： $BH=BC\cdot \cos \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=1$ $CH=BC\cdot \sin \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=1$ 因为点 $B$ 坐标为 $(-2,0)$，则 $C$ 点横坐标 $x_c=-2+BH=-2+1=-1$。 纵坐标 $y_c=CH=1$。 所以点 $C(-1,1)$。

第三步：求焦距 将 $C(-1,1)$ 代入椭圆方程： $\frac{(-1{)}^2}{4}+\frac{1^2}{b^2}=1$ $\frac{1}{4}+\frac{1}{b^2}=1⟹\frac{1}{b^2}=\frac{3}{4}⟹b^2=\frac{4}{3}$ 计算半焦距平方： $c^2=a^2-b^2=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$ 则 $c=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。 焦距为： $2c=\frac{4\sqrt{6}}{3}$

故填入答案为：$\frac{4\sqrt{6}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的几何量关系 $a^2=b^2+c^2$。

核心方法：“几何问题坐标化”。通过建立合适的坐标系，将几何条件（角度、长度）转化为点的坐标。

避坑指南：注意点 $B$ 的坐标设定。如果设 $B(2,0)$，则 $C$ 的坐标会相应变化，但代入平方后的方程结果是一致的。另外，题目问的是焦距（$2c$）而非半焦距（$c$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆的离心率 $e=\frac{c}{a}$（本题中 $e=\frac{\sqrt{6}}{3}$）。

结论推广：在椭圆中，若已知过顶点的弦长及其与长轴的角度，该弦的另一个端点坐标是确定的，从而可以唯一确定椭圆族中的某一个。

方法推广：对于涉及“长轴”、“焦点”的解析几何题目，第一时间建立以中心为原点的标准系通常是最简便的。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷文-21 解-椭圆与圆
• 2014-辽宁卷文-20 解-椭圆方程
• 2014-湖南卷文-06 单-圆与圆