2011-江西卷理-16 解-古典概型

本题导读

本题考查超几何分布。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(理)） 某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 $A$ 饮料，另外 4 杯为 $B$ 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从 8 杯饮料中选出 4 杯 $A$ 饮料.若 4 杯都选对，则月工资定为 3500 元；若 4 杯选对 3 杯，则月工资定为 2800 元；否则月工资定为 2100 元.令 $X$ 表示此人选对 $A$ 饮料的杯数.假设此人对 $A$ 和 $B$ 两种饮料没有鉴别能力.

(1) 求 $X$ 的分布列；

(2) 求此员工月工资的期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定随机变量 $X$ 的所有可能取值（从 4 杯 $A$ 和 4 杯 $B$ 中任选 4 杯，选对 $A$ 的杯数可为 0, 1, 2, 3, 4）。
2. 根据超几何分布概率公式 $P(X=k)=\frac{{\text{C}}_4^k{\text{C}}_4^{4-k}}{{\text{C}}_8^4}$ 分别计算对应的概率并列出分布列。
3. 建立月工资 $Y$ 与选对杯数 $X$ 的函数对应关系，根据数学期望公式计算月工资的期望值。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 依题意，$X$ 服从参数为 $N=8,M=4,n=4$ 的超几何分布，随机变量 $X$ 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3, 4。 总的选法种数为 ${\text{C}}_8^4=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70$。 各取值的概率为： $P(X=0)=\frac{{\text{C}}_4^0{\text{C}}_4^4}{{\text{C}}_8^4}=\frac{1\times 1}{70}=\frac{1}{70}$ $P(X=1)=\frac{{\text{C}}_4^1{\text{C}}_4^3}{{\text{C}}_8^4}=\frac{4\times 4}{70}=\frac{16}{70}=\frac{8}{35}$ $P(X=2)=\frac{{\text{C}}_4^2{\text{C}}_4^2}{{\text{C}}_8^4}=\frac{6\times 6}{70}=\frac{36}{70}=\frac{18}{35}$ $P(X=3)=\frac{{\text{C}}_4^3{\text{C}}_4^1}{{\text{C}}_8^4}=\frac{4\times 4}{70}=\frac{16}{70}=\frac{8}{35}$ $P(X=4)=\frac{{\text{C}}_4^4{\text{C}}_4^0}{{\text{C}}_8^4}=\frac{1\times 1}{70}=\frac{1}{70}$ 所以，$X$ 的分布列为：

$X$	0	1	2	3	4
$P$	$\frac{1}{70}$	$\frac{8}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{8}{35}$	$\frac{1}{70}$

(2) 设此员工的月工资为 $Y$（元），则 $Y$ 的可能取值为 3500, 2800, 2100。 对应的概率分别为： $P(Y=3500)=P(X=4)=\frac{1}{70}$ $P(Y=2800)=P(X=3)=\frac{16}{70}$ $P(Y=2100)=P(X⩽2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=\frac{1+16+36}{70}=\frac{53}{70}$ 所以，此员工月工资的数学期望为： $E(Y)=3500\times \frac{1}{70}+2800\times \frac{16}{70}+2100\times \frac{53}{70}$ $E(Y)=50+640+1590=2280\text{（元）}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：不放回抽样模型中的超几何分布与数学期望计算。
• 核心方法：
• 辨识“不放回”与“两类对象”，直接套用超几何分布公式；
• 求解工资期望时，将工资设为 $X$ 的分段函数 $Y=g(X)$ 统一计算。
• 避坑指南：
• 分布列中 $X$ 的取值从 0 开始到 4 结束，容易漏掉 $X=0$ 的极端情况；
• “否则”包含了 $X=0,1,2$ 三种情形，求对应概率时不要遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自罗纳德·费舍尔（Ronald Fisher）在《实验设计》中提出的著名统计学思想实验——“女士品茶”（Lady Tasting Tea），常用于假设检验的入门范例。
• 结论推广：从总数 $N$（含目标物 $M$）中不放回抽取 $n$ 个，抽得目标物个数 $X\sim H(n,M,N)$，其数学期望恒为 $E(X)=n\cdot \frac{M}{N}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2004-天津理-18 解-离散型随机变量的分布列
• 2006-全国卷II理-18 解-互斥事件与对立事件的概率