2011-江西卷理-20 解-椭圆

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(理)） $P(x_0,y_0)(x_0\ne \pm a)$ 是双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 上一点，$M,N$ 分别是双曲线 $E$ 的左、右顶点，直线 $PM,PN$ 的斜率之积为 $\frac{1}{5}$.

(1) 求双曲线的离心率；

(2) 过双曲线 $E$ 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点，$C$ 为双曲线上的一点，满足 $\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，求 $\lambda$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对 (1)：写出两顶点坐标 $M(-a,0),N(a,0)$，由 $k_{PM}\cdot k_{PN}=\frac{y_0}{x_0+a}\cdot \frac{y_0}{x_0-a}=\frac{y_0^2}{x_0^2-a^2}$，结合双曲线方程 $\frac{y_0^2}{x_0^2-a^2}=\frac{b^2}{a^2}$ 建立 $a,b,c$ 关系，求出离心率 $e$。
2. 对 (2)：由 (1) 得 $a^2=5b^2$，$c=\sqrt{6}b$。写出过右焦点且斜率为 1 的直线方程，与双曲线联立，由韦达定理得到弦 $A,B$ 的中点与交点关系。将 $\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ 坐标化代入双曲线方程，或利用双曲线的对称性与二次齐次化形式求解 $\lambda$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 由双曲线方程可知，左、右顶点坐标分别为 $M(-a,0)$，$N(a,0)$。 因为点 $P(x_0,y_0)$ 在双曲线 $E$ 上，所以： $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1⟹y_0^2=\frac{b^2}{a^2}(x_0^2-a^2)$ 由斜率公式得： $k_{PM}\cdot k_{PN}=\frac{y_0-0}{x_0+a}\cdot \frac{y_0-0}{x_0-a}=\frac{y_0^2}{x_0^2-a^2}$ 代入 $y_0^2$ 得： $k_{PM}\cdot k_{PN}=\frac{\frac{b^2}{a^2}(x_0^2-a^2)}{x_0^2-a^2}=\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{5}$ 故 $\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{5}$。 双曲线的离心率： $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{30}}{5}$

(2) 由 (1) 知 $a^2=5b^2$，$c^2=a^2+b^2=6b^2$，则右焦点坐标为 $(\sqrt{6}b,0)$。 双曲线 $E$ 的方程为：$x^2-5y^2=5b^2$。 过右焦点且斜率为 1 的直线方程为： $y=x-\sqrt{6}b$ 代入双曲线方程 $x^2-5y^2=5b^2$，得： $x^2-5(x-\sqrt{6}b{)}^2=5b^2$ $x^2-5(x^2-2\sqrt{6}bx+6b^2)=5b^2$ $-4x^2+10\sqrt{6}bx-35b^2=0⟺4x^2-10\sqrt{6}bx+35b^2=0$ 判别式 $\Delta =(-10\sqrt{6}b{)}^2-4\times 4\times 35b^2=600b^2-560b^2=40b^2>0$。 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则： $x_1+x_2=\frac{5\sqrt{6}b}{2},x_1{x}_2=\frac{35b^2}{4}$ 又 $y_1=x_1-\sqrt{6}b$，$y_2=x_2-\sqrt{6}b$， 则： $y_1+y_2=(x_1+x_2)-2\sqrt{6}b=\frac{5\sqrt{6}b}{2}-2\sqrt{6}b=\frac{\sqrt{6}b}{2}$ $y_1{y}_2=(x_1-\sqrt{6}b)(x_2-\sqrt{6}b)=x_1{x}_2-\sqrt{6}b(x_1+x_2)+6b^2=\frac{35b^2}{4}-\sqrt{6}b\cdot \frac{5\sqrt{6}b}{2}+6b^2=-\frac{b^2}{4}$ 设 $C(x_C,y_C)$，由 $\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ 得： $x_C=\lambda x_1+x_2,y_C=\lambda y_1+y_2$ 因为点 $C$ 在双曲线 $E$ 上，所以 $x_C^2-5y_C^2=5b^2$。 展开得： $(\lambda x_1+x_2{)}^2-5(\lambda y_1+y_2{)}^2=5b^2$ ${\lambda }^2(x_1^2-5y_1^2)+(x_2^2-5y_2^2)+2\lambda (x_1{x}_2-5y_1{y}_2)=5b^2$ 因为点 $A,B$ 均在双曲线 $E$ 上，所以 $x_1^2-5y_1^2=5b^2$，$x_2^2-5y_2^2=5b^2$。 代入上式得： $5b^2{\lambda }^2+5b^2+2\lambda (x_1{x}_2-5y_1{y}_2)=5b^2$ $5b^2{\lambda }^2+2\lambda (x_1{x}_2-5y_1{y}_2)=0$ 计算交叉项： $x_1{x}_2-5y_1{y}_2=\frac{35b^2}{4}-5\left(-\frac{b^2}{4}\right)=\frac{35b^2+5b^2}{4}=10b^2$ 代入得： $5b^2{\lambda }^2+2\lambda (10b^2)=0⟹5b^2{\lambda }^2+20b^2\lambda =0$ 因为 $b\ne 0$，两边同除以 $5b^2$，得： ${\lambda }^2+4\lambda =0⟹\lambda (\lambda +4)=0$ 解得： $\lambda =0\text{或}\lambda =-4$ 检验： 当 $\lambda =0$ 时，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}$，此时点 $C$ 与点 $B$ 重合，在双曲线上； 当 $\lambda =-4$ 时，$C$ 为双曲线上的另一点。 故 $\lambda =0$ 或 $\lambda =-4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：双曲线离心率的弦斜率定值表达、双曲线上点的二次齐次多项式配凑。
• 核心方法：
• 第一问利用结论 $k_{PA}\cdot k_{PB}=\frac{b^2}{a^2}$ 秒解；
• 第二问利用向量关系平方代入双曲线时，利用 $A,B$ 本身满足曲线方程提取 ${\lambda }^2(5b^2)+5b^2$，极大简化消元计算。
• 避坑指南：$\lambda =0$ 对应点 $C$ 与点 $B$ 重合，题目中未限定 $C$ 为“不同于 $A,B$ 的点”，故 $\lambda =0$ 符合题意，不可漏掉。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于解析几何定值定理：对双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 上任意点与两顶点连线斜率之积为常数 $\frac{b^2}{a^2}$；结合了二次曲线内双线性形式（极化恒等式）的向量展开。
• 结论推广：若点 $A,B,C$ 均在二次曲线 $\Gamma :{\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}=1$ 上，且 $\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}$，则必有 ${\lambda }^2+{\mu }^2+2\lambda \mu ⟨\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}{⟩}_{\Gamma }=1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2013-广东卷理-07 单-双曲线方程