2011-浙江卷理-05 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划与整数规划，以及目标函数的最值求解。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(理)） 设实数 $x,y$ 满足不等式组 $\{\begin{array}{l}x+2y-5>0\\ 2x+y-7>0\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$. 若 $x,y$ 为整数，则 $3x+4y$ 的最小值是 ()

A. 14　　　　　　　B. 16　　　　　　　C. 17　　　　　　　D. 19

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出不等式组表示的可行域边界：$x+2y=5$，$2x+y=7$，$x=0$，$y=0$。
2. 目标函数为 $z=3x+4y$，由于 $x,y$ 必须为整数，在可行域边界附近枚举满足严格不等式的整点。
3. 计算候选整点的目标函数值并比较大小。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

不等式组对应的边界直线为 $x+2y=5$ 和 $2x+y=7$，可行域为这两条直线右上方区域。 由于 $x,y$ 为整数，在边界附近寻找满足 $x+2y>5$ 且 $2x+y>7$ 的整点 $(x,y)$：

• 试探点 $(4,1)$：$4+2(1)=6>5$，$2(4)+1=9>7$，满足条件，此时 $z=3(4)+4(1)=16$；
• 试探点 $(3,2)$：$3+2(2)=7>5$，$2(3)+2=8>7$，满足条件，此时 $z=3(3)+4(2)=17$；
• 试探点 $(5,1)$：$5+2(1)=7>5$，$2(5)+1=11>7$，满足条件，此时 $z=3(5)+4(1)=19$； 经检验，更小的整数组合（如和为 14 或 15 的整点）均不满足严格不等式约束。 因此，$3x+4y$ 的最小值为 16。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线性规划整点最优解问题。
• 核心方法：数形结合与邻域整点穷举法。
• 避坑指南：注意原不等式组为严格不等式（$>$），边界上的整点不可取。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考线性规划常考的整点最优解问题。
• 结论推广：求解整数线性规划时，通常先利用线性规划确定最优解的大致范围，再在附近网格点中逐一验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-湖北卷理-13 填-目标函数最值
• 2010-大纲卷II理-03
• 2010-湖北卷文-12 填-线性规划求最值