2010-湖北卷文-12 填-线性规划求最值

本题导读

考查线性规划。在可行域内 $z=3x-1⩽5$，最大值在 $(2,-1)$ 取得，$z_{\max }=5$。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(文)） 已知 $z=2x-y$，式中变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}y⩽x,\\ x+y⩾1,\\ x⩽2,\end{array}$ 则 $z$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由 $x+y⩾1$ 得 $y⩾1-x$；要 $z=2x-y$ 大，需 $y$ 小，故取下边界 $y=1-x$。
2. $y⩽x$ 要求 $1-x⩽x$，即 $x⩾\frac{1}{2}$；又 $x⩽2$。
3. 在 $y=1-x$ 上，$z=2x-(1-x)=3x-1$，随 $x$ 增大而增大，$x$ 最大取 $2$，此时 $y=-1$，满足全部约束。
4. $z_{\max }=3\times 2-1=5$。

✅【答案】

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$5$

✍【详细解析】

Abstract

由 $x+y⩾1$，得 $y⩾1-x$. 因为 $z=2x-y$ 随 $y$ 的减小而增大，所以在固定 $x$ 时取 $y=1-x$. 此时还需满足 $y⩽x$，即 $1-x⩽x$，从而 $x⩾\frac{1}{2}$. 结合 $x⩽2$，有 $z⩽2x-(1-x)=3x-1⩽5.$ 当 $x=2$，$y=-1$ 时满足全部约束，且 $z=5$，所以最大值为 $5$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划求最值

核心方法：画可行域，令 $z=2x-y$ 的等值线平移，取最优顶点

避坑指南：约束条件围成的可行域顶点代入 $z=2x-y$，得最大值 $5$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划的最值在可行域顶点处取得。

结论推广：目标函数 $z=ax+by$ 的等值线斜率一定，平移到可行域边界求截距最值。

方法推广：先准确画可行域，再求各顶点坐标代入比较；注意约束不等号是否取等。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-11 填-线性规划最值
• 2011-天津卷文-02 单-线性规划最值
• 2011-安徽卷文-06 单-线性规划最值
• 2009-陕西卷文-14 填-线性规划最值