2011-浙江卷理-18 解-余弦定理

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(理)） 在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$. 已知 $\sin A+\sin C=p\sin B(p\in \mathbf{R})$，且 $ac=\frac{1}{4}{b}^2$.

(1) 当 $p=\frac{5}{4}$，$b=1$ 时，求 $a,c$ 的值；

(2) 若角 $B$ 为锐角，求 $p$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对 (1)：

• 利用正弦定理将 $\sin A,\sin B,\sin C$ 转化为边长 $a,b,c$：$a+c=pb$.
• 代入 $p=\frac{5}{4},b=1$ 得 $a+c=\frac{5}{4}$，结合已知 $ac=\frac{1}{4}{b}^2=\frac{1}{4}$，构造一元二次方程求解 $a,c$.

2. 对 (2)：

• 由正弦定理化简得 $a+c=pb⟹p=\frac{a+c}{b}$.
• 结合余弦定理 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ 及 $ac=\frac{1}{4}{b}^2$，将 $\cos B$ 用 $p$ 表示或转化为关于 $p$ 的不等式。
• 利用角 $B$ 为锐角（$\cos B>0$）及三角形边长约束求出 $p$ 的取值范围。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，可将 $\sin A+\sin C=p\sin B$ 转化为边长关系： $a+c=pb$ 当 $p=\frac{5}{4}$，$b=1$ 时： $a+c=\frac{5}{4}$ 又已知 $ac=\frac{1}{4}{b}^2=\frac{1}{4}\times 1^2=\frac{1}{4}$. 根据韦达定理，$a$ 和 $c$ 是方程 $t^2-\frac{5}{4}t+\frac{1}{4}=0$ 的两个实数根。 方程化简为 $4t^2-5t+1=0⟹(4t-1)(t-1)=0$，解得 $t_1=1,t_2=\frac{1}{4}$. 因此，$a,c$ 的值为 $1$ 和 $\frac{1}{4}$（或 $\frac{1}{4}$ 和 $1$）.

(2) 由正弦定理得 $a+c=pb⟹p=\frac{a+c}{b}$. 在 $△ABC$ 中，由余弦定理得： $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ 因为 $ac=\frac{1}{4}{b}^2⟹b^2=4ac$，代入上式： $\cos B=\frac{(a+c{)}^2-2ac-4ac}{2ac}=\frac{(a+c{)}^2-6ac}{2ac}=\frac{(pb{)}^2-6\left(\frac{1}{4}{b}^2\right)}{2\left(\frac{1}{4}{b}^2\right)}=\frac{p^2{b}^2-\frac{3}{2}{b}^2}{\frac{1}{2}{b}^2}=2p^2-3$ 因为角 $B$ 为锐角，所以 $\cos B>0$，即： $2p^2-3>0⟹p^2>\frac{3}{2}⟹p>\frac{\sqrt{6}}{2}\text{ 或 }p<-\frac{\sqrt{6}}{2}$ 又因为 $a,c>0$，由三角形两边之和大于第三边 $a+c>b$ 可知： $p=\frac{a+c}{b}>1$ 综合上述条件，实数 $p$ 的取值范围是 $\left(\frac{\sqrt{6}}{2},+\infty \right)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正余弦定理边角互化、余弦定理推导角的关系、一元二次方程根与系数关系。
• 核心方法：整体代换法（将 $a+c$ 整体用 $pb$ 表示）。
• 避坑指南：求解参数范围时，切勿忽略三角形基本几何不等式（如两边之和大于第三边 $a+c>b$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考数学解三角形大题的经典题型。
• 结论推广：三角形中边角混合关系式常通过正余弦定理统一化为纯边或纯角关系处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2012-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形
• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理