2011-湖北卷文-03 单-奇偶分解解析式

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及方程组消元。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(文)） 若定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数 $f(x)$ 和奇函数 $g(x)$ 满足 $f(x)+g(x)=e^x$，则 $g(x)=$ ()

A. $e^x-e^{-x}$　　B. $\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$　　C. $\frac{1}{2}(e^{-x}-e^x)$　　D. $\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：以 $-x$ 代入得第二条方程
2. 步骤2：用奇偶性消去 $f$ 解出 $g$

✅【答案】

点击查看答案

D$g(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$

✍【详细解析】

Abstract

以 $-x$ 代入 $f(x)+g(x)=e^x$：$f(-x)+g(-x)=e^{-x}$。

由 $f$ 偶、$g$ 奇：$f(-x)=f(x)$，$g(-x)=-g(x)$，故 $f(x)-g(x)=e^{-x}$。

与原式相加：$2f(x)=e^x+e^{-x}$；相减：$2g(x)=e^x-e^{-x}$，故 $g(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$，选 D。

验：$g(-x)=\frac{1}{2}(e^{-x}-e^x)=-g(x)$，确为奇函数；$f(x)=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$ 为偶函数，$f+g=e^x$ 成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇偶性在对称点的转化；方程组消元构造解析式

核心方法：”$f+g$ 已知、$f$ 偶 $g$ 奇”必用 $-x$ 代入造第二条方程，和差消元

避坑指南：代 $-x$ 后必须把 $f(-x)$、$g(-x)$ 按奇偶性翻译回 $f(x)$、$-g(x)$，才能与原式联立；本题结构即”奇偶分解”：任何定义在对称区间上的函数都可拆成偶部分 $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ 与奇部分 $\frac{e^x-e^{-x}}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇偶函数联立题与 2013-山东卷文-03、2012-新课标卷文-16、2013-重庆卷文-09 同族。

结论推广：推广：若 $f$ 偶 $g$ 奇且 $f(x)+g(x)=h(x)$，则 $f(x)=\frac{h(x)+h(-x)}{2}$，$g(x)=\frac{h(x)-h(-x)}{2}$；本题 $h(x)=e^x$。

方法推广：奇偶分解题：见到”$f\pm g$ 型等式 + 奇偶条件”，条件反射代 $-x$ 联立，两步出解析式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-03 单-奇函数求值
• 2012-新课标卷文-16 填-奇函数最值之和
• 2013-重庆卷文-09 单-奇函数求值