2011-湖北卷理-09 单-函数

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定，以及新定义概念理解。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(理)） 若实数 $a,b$ 满足 $a⩾0,b⩾0$, 且 $ab=0$, 则称 $a$ 与 $b$ 互补. 记 $\phi (a,b)=\sqrt{a^2+b^2}-a-b$, 那么 $\phi (a,b)=0$ 是 $a$ 与 $b$ 互补的 ()

A. 必要而不充分条件　　　　　　　　　B. 充分而不必要条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析方程 $\phi (a,b)=0⟺\sqrt{a^2+b^2}=a+b$。
2. 平方并分析等价转化的充要条件：$a^2+b^2=(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ 且 $a+b⩾0$。
3. 比较“$\phi (a,b)=0$”与“$a,b$ 互补”两者的条件集合，判断逻辑包含关系。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $\phi (a,b)=0$ 得 $\sqrt{a^2+b^2}=a+b$。 该式成立的充要条件为： $a+b⩾0$ 且 $a^2+b^2=(a+b{)}^2$。 展开化简得：$a+b⩾0$ 且 $2ab=0⟺ab=0$。 即 $\phi (a,b)=0⟺\{\begin{array}{l}ab=0\\ a+b⩾0\end{array}$。

对比互补定义：$a⩾0,b⩾0$ 且 $ab=0$。

• 若 $a$ 与 $b$ 互补，则必有 $ab=0$ 且 $a+b⩾0$，故 $\phi (a,b)=0$ 成立，即充分性成立；
• 若 $\phi (a,b)=0$，例如取 $a=1,b=0$，满足互补；但若 $ab=0$ 且 $a+b⩾0$，当其中一个为 0 时，另一个必定大于或等于 0（例如 $b=0⟹a+0⩾0⟹a⩾0$），即必有 $a⩾0$ 且 $b⩾0$。 因此，$\{\begin{array}{l}ab=0\\ a+b⩾0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a⩾0\\ b⩾0\\ ab=0\end{array}$。 两条件互为充要条件。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：充分必要条件、无理等式的同解变形。
• 核心方法：两边平方时务必保留开方结果非负的隐含限制（$a+b⩾0$）。
• 避坑指南：容易忽视 $a+b⩾0$ 与 $ab=0$ 能直接推出两者均非负，而误选为必要不充分条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于运筹学与非线性优化中的“互补问题”（Complementarity Problem），其中 $\sqrt{a^2+b^2}-a-b=0$ 称为 Fischer-Burmeister NCP 函数。
• 结论推广：函数 $\varphi (a,b)=\sqrt{a^2+b^2}-(a+b)=0⟺a⩾0,b⩾0,ab=0$ 是优化理论中将不等式互补约束转化为光滑等式约束的标准工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2010-湖北卷文-10 单-向量夹角与充分条件
• 1986-全国理-06 单-充分必要条件的传递