2010-湖北卷文-10 单-向量夹角与充分条件

本题导读

考查新定义与充要。等边三角形时 $t=1$（必要性成立）；但等腰三角形（如 $1,1,\frac{3}{2}$）也满足 $t=1$（充分性不成立），故 $t=1$ 是等边三角形的必要不充分条件，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(文)） 记实数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 中的最大数为 $\max \{x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$，最小数为 $\min \{x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$. 已知 $△ABC$ 的三边边长为 $a,b,c$（$a⩽b⩽c$），定义它的倾斜度为 $t=\max \left\{\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\right\}\cdot \min \left\{\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\right\},$ 则"$t=1$"是”$△ABC$ 为等边三角形”的()

A. 必要而不充分的条件　　　　　　　B. 充分而不必要的条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要的条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $a⩽b⩽c$：$\frac{a}{b}⩽1$，$\frac{b}{c}⩽1$，$\frac{c}{a}⩾1$，故 $\max =\frac{c}{a}$；$\min$ 在 $\frac{a}{b}$ 与 $\frac{b}{c}$ 中取小。
2. 等边三角形：$a=b=c$，三个比值全为 1，$t=1\times 1=1$。故等边 $\Rightarrow t=1$，即 $t=1$ 是必要条件。
3. 反向：若 $\frac{a}{b}⩽\frac{b}{c}$，则 $t=\frac{c}{a}\cdot \frac{a}{b}=\frac{c}{b}$，$t=1⟺b=c$；此时 $a⩽b=c$ 即可，如 $a=1<b=c=\frac{3}{2}$ 的等腰三角形也满足 $t=1$，但不是等边三角形。
4. 故 $t=1$ 推不出等边三角形，充分性不成立。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $a⩽b⩽c$，有 $\frac{a}{b}⩽1$，$\frac{b}{c}⩽1$，$\frac{c}{a}⩾1$，故最大值 $\max =\frac{c}{a}$，最小值在 $\frac{a}{b}$ 与 $\frac{b}{c}$ 中取. 必要性：若 $△ABC$ 为等边三角形，则 $a=b=c$，三个比值均为 $1$，$t=1\times 1=1$，即等边三角形 $\Rightarrow t=1$，故 $t=1$ 是必要条件. 充分性：若 $\frac{a}{b}⩽\frac{b}{c}$，则 $t=\frac{c}{a}\cdot \frac{a}{b}=\frac{c}{b}$，$t=1$ 可推出 $b=c$； 若 $\frac{b}{c}⩽\frac{a}{b}$，则 $t=\frac{c}{a}\cdot \frac{b}{c}=\frac{b}{a}$，$t=1$ 可推出 $a=b$. 因此 $a=b<c$ 或 $a<b=c$ 的等腰三角形（非等边）也可能满足 $t=1$. 例如边长为 $1$，$1$，$\frac{3}{2}$ 的三角形：$\frac{a}{b}=1$，$\frac{b}{c}=\frac{2}{3}$，$\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$，$\max =\frac{3}{2}$，$\min =\frac{2}{3}$，$t=\frac{3}{2}\times \frac{2}{3}=1$，满足 $t=1$ 但不是等边三角形. 所以 $t=1$ 推不出等边三角形，充分性不成立. 综上，"$t=1$"是”$△ABC$ 为等边三角形”的必要而不充分的条件，选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量夹角与充分必要条件

核心方法：由夹角为 $60^{\circ }$ 推 $t=1$ 的必要性，再检验充分性

避坑指南：$\mathbf{a},\mathbf{b}$ 夹角 $60^{\circ }$ 时 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos 60^{\circ }$，由此得 $t=1$；但 $t=1$ 不保证夹角为 $60^{\circ }$，故为必要不充分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：充分必要条件判断要双向检验。

结论推广：$p\Rightarrow q$ 则 $p$ 充分，$q\Rightarrow p$ 则 $p$ 必要；向量夹角由点积与模共同决定。

方法推广：涉及夹角的向量题，点积 $=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$ 中 $\theta$ 依赖模，参数反解后务必回代验证角度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-06 单-充要条件判定
• 2011-湖北卷文-10 单-互补新定义充要
• 2012-湖北卷文-07 单-保等比数列新定义
• 2009-山东卷文-05 单-新定义运算