2011-湖北卷理-10 单-导数运算法则

本题导读

本题考查指数函数的导数，以及导数的物理意义与瞬时变化率。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(理)） 放射性元素由于不断有原子放出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变. 假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 $M$（单位：太贝克）与时间 $t$（单位：年）满足函数关系：$M(t)=M_0{2}^{-\frac{t}{30}}$，其中 $M_0$ 为 $t=0$ 时铯 137 的含量. 已知 $t=30$ 时，铯 137 含量的变化率是 $-10\ln 2$（太贝克/年），则 $M(60)=$ ()

A. 5 太贝克　B. $75\ln 2$ 太贝克　C. $150\ln 2$ 太贝克　D. 150 太贝克

🔍【思路分析】

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1. 对函数 $M(t)$ 求导，求出导函数 $M^{\prime }(t)$。
2. 利用 $M^{\prime }(30)=-10\ln 2$ 建立方程，解出初始含量 $M_0$。
3. 将 $t=60$ 代入函数求得 $M(60)$ 的值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

对 $M(t)=M_0{2}^{-\frac{t}{30}}$ 关于 $t$ 求导： $M^{\prime }(t)=M_0\cdot 2^{-\frac{t}{30}}\cdot \ln 2\cdot \left(-\frac{1}{30}\right)=-\frac{M_0\ln 2}{30}\cdot 2^{-\frac{t}{30}}$。

由题意，当 $t=30$ 时： $M^{\prime }(30)=-\frac{M_0\ln 2}{30}\cdot 2^{-1}=-\frac{M_0\ln 2}{60}$。 已知 $M^{\prime }(30)=-10\ln 2$，得： $-\frac{M_0\ln 2}{60}=-10\ln 2⟹M_0=600$。

当 $t=60$ 时： $M(60)=M_0{2}^{-\frac{60}{30}}=600\times 2^{-2}=\frac{600}{4}=150$（太贝克）。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：$(a^{kx}{)}^{\prime }=k{a}^{kx}\ln a$ 的求导法则、瞬时变化率的导数本质。
• 核心方法：求导代值求参，代入求值。
• 避坑指南：求导时容易漏掉链式法则中的内层导数 $-\frac{1}{30}$ 或常数 $\ln 2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自核物理中的放射性半衰期模型，对应的微分方程为 $\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}t}=-\lambda M$。
• 结论推广：放射性衰变定律满足 $M(t)=M_0{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$，其变化率 $M^{\prime }(t)=-\lambda M(t)$，变化率与瞬时剩余量始终成正比。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 1977-江苏卷-01(1)
• 2009-天津卷理-06
• 2010-山东卷文-05 单-奇函数求值