2011-湖北卷理-15 填-归纳推理

本题导读

本题考查归纳推理与递推数列，以及计数原理与斐波那契数列模型。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(理)）

给 $n$ 个自上而下相连的正方形着黑色或白色. 当 $n⩽4$ 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示：

由此推断，当 $n=6$ 时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有$\underline{}$种.

🔍【思路分析】

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1. 统计前几项的方案总数：

• $n=1$ 时，方案数为 $2$；

• $n=2$ 时，方案数为 $3$；

• $n=3$ 时，方案数为 $5$；

• $n=4$ 时，方案数为 $8$。

2. 观察数列规律：$2,3,5,8,\dots$ 满足递推关系 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$（斐波那契型数列）。

3. 状态分析验证：设 $n$ 个正方形方案数为 $a_n$，若底端涂白，则前 $n-1$ 个有 $a_{n-1}$ 种；若底端涂黑，则倒数第 2 个必须涂白，前 $n-2$ 个有 $a_{n-2}$ 种，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。

4. 依次递推计算 $a_5$ 和 $a_6$ 的值。

✅【答案】

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21

✍【详细解析】

Abstract

记 $n$ 个自上而下相连的正方形中黑色互不相邻的着色方案数为 $a_n$。

观察题图给出的小正方形排列方案数：

• $n=1$ 时，$a_1=2$；

• $n=2$ 时，$a_2=3$；

• $n=3$ 时，$a_3=5$；

• $n=4$ 时，$a_4=8$。

由分类加法计数原理推导递推关系：

按最后一个（最底端）正方形的颜色分类：

1. 若最底端着白色，则前面 $n-1$ 个正方形的涂色不受限制，共 $a_{n-1}$ 种；

2. 若最底端着黑色，则倒数第 2 个正方形必须着白色，前面 $n-2$ 个正方形不受限制，共 $a_{n-2}$ 种。

由此可知递推关系为：

$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ ($n⩾3$)。

依此递推：

• $a_5=a_4+a_3=8+5=13$；

• $a_6=a_5+a_4=13+8=21$。

故填：21。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：合情推理与归纳递推、分类加法计数原理。

• 核心方法：末位状态分类法建立递推数列模型（$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$）。

• 避坑指南：手动枚举容易遗漏或重复，必须先提取前四项数列特征形成严密递推逻辑。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：经典的组合数学“硬币掷出无连续正面”问题或“无相邻1的0-1二进制串”，对应标准的斐波那契数列模型（$a_n=F_{n+2}$）。

• 结论推广：若正方形首尾相接成环，则无相邻黑色方案数对应卢卡斯数（Lucas number）模型：$L_n=a_{n-1}+a_{n-3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

• 19.06 斐波那契数列全总结

类题演练 (Links)

• 2005-广东卷-14 填-由线定点的组合映射模型

• 2008-江苏卷-10 填-三角形数阵

• 2008-江西卷理-10