2010-陕西卷理-12 填-归纳推理与模

本题导读

本题考查由具体等式归纳猜测一般规律，求指定序号的等式。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(理)） 观察下列等式： $1^3+2^3=3^2$， $1^3+2^3+3^3=6^2$， $1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$， $\cdots$， 根据上述规律，第五个等式为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察等式左边：第 $n$ 个等式左边为从 $1^3$ 加到 $(n+1{)}^3$。
2. 观察等式右边：底数分别为 $3,6,10,\dots$，对应前 $n+1$ 个正整数之和，即 $1+2=3$，$1+2+3=6$，$1+2+3+4=10$。
3. 推导第五个等式（$n=5$）：左边加到 $6^3$，右边底数为 $1+2+3+4+5+6=21$。

✅【答案】

点击查看答案

$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3=21^2$

✍【详细解析】

Abstract

步骤一：分析规律

• 第一个等式（$n=1$）：左边最高项为 $2^3$，右边底数 $3=1+2$；
• 第二个等式（$n=2$）：左边最高项为 $3^3$，右边底数 $6=1+2+3$；
• 第三个等式（$n=3$）：左边最高项为 $4^3$，右边底数 $10=1+2+3+4$；

步骤二：归纳第五个等式（$n=5$）

• 左边：应为前 $6$ 个正整数的立方和，即 $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3$。
• 右边：底数为前 $6$ 个正整数之和： $1+2+3+4+5+6=\frac{6\times 7}{2}=21$ 右边为 $21^2$。

因此，第五个等式为： $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3=21^2$

故答案为：$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3=21^2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：合情推理中的归纳推理。
2. 核心方法：观察项数 $n$ 与公式中底数/项数的对应关系。
3. 避坑指南：注意第五个等式左边的项数是 $6$ 项（首式起点为 $2$ 项），切勿漏算 $5^3,6^3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于经典的连续自然数立方和公式 ${\sum }_{k=1}^n{k}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2$。
2. 结论推广：第 $n$ 个等式为 ${\sum }_{k=1}^{n+1}{k}^3={\left[\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right]}^2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

$13+23+33+43+53+63=212$

类题演练 (Links)

• 2011-江西卷文-06 单-幂末两位归纳推理
• 2011-湖北卷理-15 填-归纳推理
• 2011-陕西卷文-13 填-等式规律归纳推理