2011-湖北卷理-18 解-线面关系

本题导读

本题考查正三棱柱的性质。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(理)） 如图，已知正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的各棱长都是 4，$E$ 是 $BC$ 的中点，动点 $F$ 在侧棱 $C{C}_1$ 上，且不与点 $C$ 重合.

(1) 当 $CF=1$ 时，求证：$EF\perp A_{1}C$；

(2) 设二面角 $C-AF-E$ 的大小为 $\theta$，求 $\tan \theta$ 的最小值.

🔍【思路分析】

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1. 几何对称性建系：由于底面 $△ABC$ 为正三角形，$E$ 为 $BC$ 中点，易知 $AE\perp BC$。以 $E$ 为原点，$EB$ 为 $x$ 轴正方向，$EA$ 为 $y$ 轴正方向，过 $E$ 且平行于 $C{C}_1$ 的方向为 $z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。
2. 第 (1) 问：求出各点坐标，写出向量 $\overrightarrow{EF}$ 与 $\overrightarrow{A_{1}C}$ 的坐标，验证其数量积 $\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{A_{1}C}=0$。
3. 第 (2) 问：设 $CF=h$ ($0<h⩽4$)，求出平面 $ACF$ 与平面 $AEF$ 的法向量，用法向量数量积表示 $\cos \theta$ 或通过投影法求点到直线距离确定 $\tan \theta$，构建关于 $h$ 的函数求出最小值。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 在等边 $△ABC$ 中，$AB=BC=AC=4$，$E$ 为 $BC$ 的中点， 所以 $AE\perp BC$ 且 $AE=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 4=2\sqrt{3}$。 因为三棱柱为正三棱柱，所以侧棱垂直于底面，平面 $BC{C}_1{B}_1\perp$ 底面 $ABC$。 以 $E$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{EB}$、$\overrightarrow{EA}$ 的方向为 $x$ 轴、$y$ 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 $E-xyz$。

则各相关点坐标为： $E(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(-2,0,0)$，$A(0,2\sqrt{3},0)$，$A_1(0,2\sqrt{3},4)$。 当 $CF=1$ 时，$F(-2,0,1)$。 此时： $\overrightarrow{EF}=(-2,0,1)$， $\overrightarrow{A_{1}C}=C-A_1=(-2,-2\sqrt{3},-4)$。 则： $\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{A_{1}C}=(-2)\times (-2)+0\times (-2\sqrt{3})+1\times (-4)=4+0-4=0$。 所以 $\overrightarrow{EF}\perp \overrightarrow{A_{1}C}$，即 $EF\perp A_{1}C$。

(2) 设 $CF=h$ ($0<h⩽4$)，则 $F(-2,0,h)$。 在平面 $AEF$ 中： $\overrightarrow{EA}=(0,2\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{EF}=(-2,0,h)$。 设平面 $AEF$ 的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$，则： $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{EA}=2\sqrt{3}{y}_1=0\\ {\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{EF}=-2x_1+h{z}_1=0\end{array}$ 取 $z_1=2$，则 $x_1=h$，$y_1=0$，故 ${\mathbf{n}}_1=(h,0,2)$。

在平面 $ACF$ 中： $\overrightarrow{CA}=A-C=(2,2\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{CF}=F-C=(0,0,h)$。 设平面 $ACF$ 的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$，则： $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{CF}=h{z}_2=0\\ {\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{CA}=2x_2+2\sqrt{3}{y}_2=0\end{array}$ 取 $y_2=1$，则 $x_2=-\sqrt{3}$，$z_2=0$，故 ${\mathbf{n}}_2=(-\sqrt{3},1,0)$。

记二面角 $C-AF-E$ 的平面角为 $\theta$（$\theta \in (0,\frac{\pi }{2}]$），则： $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{|-\sqrt{3}h+0+0|}{\sqrt{h^2+4}\cdot \sqrt{3+1}}=\frac{\sqrt{3}h}{2\sqrt{h^2+4}}$。

由 ${\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }-1$，得： $\frac{1}{{\cos }^2\theta }=\frac{4(h^2+4)}{3h^2}=\frac{4}{3}+\frac{16}{3h^2}$。 所以： ${\tan }^2\theta =\frac{4}{3}+\frac{16}{3h^2}-1=\frac{1}{3}+\frac{16}{3h^2}$。

因为 $0<h⩽4$，所以当 $h=4$ 时，$\frac{16}{3h^2}$ 取得最小值： $\frac{16}{3\times 16}=\frac{1}{3}$。 此时 ${\tan }^2\theta$ 取得最小值： ${\tan }^2\theta ⩾\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。 因为 $\theta$ 为锐二面角，$\tan \theta >0$，所以 $\tan \theta ⩾\frac{\sqrt{6}}{3}$。

答：$\tan \theta$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$（此时点 $F$ 与 $C_1$ 重合）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线线垂直的向量判定、二面角法向量夹角公式、反比例单调性求最值。
• 核心方法：构建空间直角坐标系求解法向量；通过 ${\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta -1$ 避免直接对分式根号求导，大幅简化最值求解过程。
• 避坑指南：二面角的平面角 $\theta \in (0,\pi )$，通过法向量所求夹角注意取锐角绝对值；注意动点范围 $0<h⩽4$ 中 $h$ 能否取到端点 $4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考空间几何压轴题经典模型，源于正棱柱中多面体射影及二面角度量。
• 结论推广：对于侧棱长固定的直棱柱，当动点位于棱柱顶点（即侧棱最长端）时，底面边长对应的倾斜平面夹角正切值通常取到极值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I文-18 解-四棱锥垂直二面角
• 2008-大纲卷II文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 2008-湖北卷文-18 解-直三棱柱垂直与角