2011-湖南卷文-10 填-分数法优选

本题导读

本题考查分数法与斐波那契数列，以及优选法的试点安排。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(文)） 〔选修 4-7：优选法与试验设计初步〕

已知某试验范围为 $[10,90]$，若用分数法进行 $4$ 次优选试验，则第二次试点可以是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$4$ 次试验对应分数 $\frac{5}{8}$
2. 步骤2：试验区间分 $8$ 份
3. 步骤3：第一次试点 $\frac{5}{8}$ 处、第二次取对称点

✅【答案】

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$40$ 或 $60$

✍【详细解析】

Abstract

分数法中 $n$ 次试验对应分数 $\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}$（斐波那契数列 $1,1,2,3,5,8,13,\cdots$），$4$ 次试验对应 $\frac{5}{8}$。

试验区间 $[10,90]$ 长度为 $80$，恰好能分成 $8$ 等份（每份 $10$），分点为 $20,30,40,50,60,70,80$。

第一次试点取区间 $\frac{5}{8}$ 处：$10+80\times \frac{5}{8}=60$；由”来回调试”的对称性，第二次试点取其关于区间中点的对称点 $10+80\times \frac{3}{8}=40$。

若第一次取 $\frac{3}{8}$ 处（即 $40$），则第二次取 $60$。故第二次试点可以是 $40$ 或 $60$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分数法试点位置的确定；斐波那契数列与试验次数的对应

核心方法：试验次数定分数（$\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}$），区间长除以分母定步长，两次试点关于中点对称

避坑指南：$4$ 次试验对应 $\frac{5}{8}$ 而不是 $\frac{8}{13}$——数错一档试点位置全错；两次试点是”对称互换”关系：第一次取 $\frac{5}{8}$ 处则第二次取 $\frac{3}{8}$ 处，两者都合法，故答案有两个。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分数法优选题与 2012-湖南卷文-11 同族。

结论推广：推广：$n$ 次分数法能把长度为 $F_{n+2}$ 份的区间收缩到 $1$ 份；区间长不能整除分母时先对区间作”凑整截断”再安排试点，这是分数法对区间长度的基本要求。

方法推广：优选法填空题：先由次数查分数，再算 $\frac{5}{8}$ 与 $\frac{3}{8}$ 两个对称试点，答案常成对出现。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.06 斐波那契数列全总结

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-11 填-分数法优选