2012-湖南卷文-11 填-分数法优选

本题导读

本题考查分数法与斐波那契数列，以及优选法的试验次数估计。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(文)） （选修 4-7：优选法与试验设计初步）

某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为 $29$ ℃ $\sim 63$ ℃，精确度要求 $\pm 1$ ℃. 用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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试验范围 $63-29=34$ 恰为斐波那契数 $F_9$，分数法 $n$ 次试验最多适用于 $F_{n+2}$ 等分的范围，故 $n=7$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

精确度为 $\pm 1$ ℃，把试验范围 $29\sim 63$ ℃ 分成 $63-29=34$ 段，每段长 $1$ ℃。

斐波那契数列为 $1,1,2,3,5,8,13,21,34,\cdots$，$34=F_9$。分数法的原理：用 $n$ 次试验最多能保证从 $F_{n+2}$ 等分的范围中找出最佳点（第一试点安排在 $\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}$ 处，其后每次按”存优范围”对称取点）。

由 $F_{n+2}=34$ 得 $n+2=9$，即最少需要 $7$ 次试验。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分数法的操作程序；斐波那契数列与试验次数的对应关系

核心方法：先按精确度把范围等分，再找不超过份数的最大斐波那契数定试验次数

避坑指南：分段数是温差 $34$（不是温度点个数 $35$）；对照数列时用 $F_{n+2}$ 对应 $n$ 次试验，直接数成 $F_9$ 对应 $9$ 次就错了。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：优选法分数法求最少试验次数，与 2024 年新高考Ⅰ卷第 8 题（斐波那契数列）在数列背景上同族。

结论推广：分数法：范围 $F$ 等分，若 $F=F_k$（斐波那契数），则最少试验次数为 $k-2$。

方法推广：分数法问题三步走：定段数、找斐波那契数、按 $n=k-2$ 读出次数。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2024-新高考I卷-08 单-斐波那契数列

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