2011-湖南卷理-07 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划与可行域，以及动态可行域与含参目标函数。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(理)）

设 $m>1$，在约束条件 $\{\begin{array}{l}y⩾x\\ y⩽mx\\ x+y⩽1\end{array}$ 下，目标函数 $z=x+my$ 的最大值小于 2，则 $m$ 的取值范围为 ()

A. $(1,1+\sqrt{2})$　　　B. $(1+\sqrt{2},+\infty )$　　　C. $(1,3)$　　　D. $(3,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制可行域：边界线分别为 $l_1:y=x$，$l_2:y=mx$ ($m>1$)，$l_3:x+y=1$。可行域为由三条直线围成的三角形区域。

2. 求出三角形的三个顶点坐标。

3. 分析目标函数 $z=x+my$ 的几何意义：化为截距式 $y=-\frac{1}{m}x+\frac{z}{m}$。因为斜率 $-\frac{1}{m}\in (-1,0)$，目标函数在直线 $y=mx$ 与 $x+y=1$ 的交点处取得最大值。

4. 解出交点坐标，代入求出 $z_{\max }$ 关于 $m$ 的表达式，令 $z_{\max }<2$ 求解不等式。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

三条边界直线的交点为：

• 联立 $\{\begin{array}{l}y=x\\ y=mx\end{array}⟹O(0,0)$；

• 联立 $\{\begin{array}{l}y=x\\ x+y=1\end{array}⟹A\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$；

• 联立 $\{\begin{array}{l}y=mx\\ x+y=1\end{array}⟹B\left(\frac{1}{m+1},\frac{m}{m+1}\right)$。

不等式组表示以 $O,A,B$ 为顶点的三角形平面区域（含边界）。

目标函数变形为 $y=-\frac{1}{m}x+\frac{z}{m}$。

因为 $m>1$，目标函数对应平行直线族的斜率 $k=-\frac{1}{m}\in (-1,0)$。

边界线 $OA$ 的斜率为 $1$，$AB$ 的斜率为 $-1$，$OB$ 的斜率为 $m>1$。

因此，当目标直线沿 $y$ 轴正方向平移时，最后离开可行域的点为点 $B\left(\frac{1}{m+1},\frac{m}{m+1}\right)$。

所以 $z$ 在点 $B$ 处取得最大值：

$z_{\max }=\frac{1}{m+1}+m\cdot \frac{m}{m+1}=\frac{m^2+1}{m+1}$。

由题意知 $z_{\max }<2$，即：

$\frac{m^2+1}{m+1}<2$。

因为 $m>1$，所以 $m+1>0$。去分母得：

$m^2+1<2m+2⟺m^2-2m-1<0$。

解该一元二次不等式，方程 $m^2-2m-1=0$ 的根为 $m=1\pm \sqrt{2}$。

不等式的解集为 $1-\sqrt{2}<m<1+\sqrt{2}$。

结合前提条件 $m>1$，取交集得：

$1<m<1+\sqrt{2}$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面可行域判定、含参目标函数的最值交点确定。

• 核心方法：结合直线斜率与可行域边界斜率的关系判定最优解所在的顶点。

• 避坑指南：必须注意前提条件 $m>1$，在解完二次不等式后务必与 $m>1$ 求交集，不能错选包含 $m⩽1$ 的区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自运筹学线性规划问题的灵敏度分析与参数规划（Parametric Linear Programming）。

• 结论推广：在多边形可行域中，若目标函数法向量方向在两相邻边界外法向量之间变动，最优解稳定在两边界的交点处。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷文-15 填-线性规划含参

• 2005-广东卷-20 解-轴对称的几何性质

• 2006-天津卷理-03 单-目标函数的几何意义