2011-福建卷理-05 单-定积分

本题导读

本题考查微积分基本定理，以及定积分的计算。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） ${\int }_0^1({\mathrm{e}}^x+2x)\mathrm{d}x$ 等于 ()

A. 1　　　　　　B. $\mathrm{e}-1$　　　　　　C. $\mathrm{e}$　　　　　　D. $\mathrm{e}+1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分别求出被积函数 ${\mathrm{e}}^x$ 和 $2x$ 的原函数。
2. 利用牛顿-莱布尼茨公式代入上、下限计算差值。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $({\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }={\mathrm{e}}^x$，$(x^2{)}^{\prime }=2x$， 所以 $({\mathrm{e}}^x+x^2{)}^{\prime }={\mathrm{e}}^x+2x$。 由微积分基本定理得：

$${\int }_0^1({\mathrm{e}}^x+2x)\mathrm{d}x={\left[{\mathrm{e}}^x+x^2\right]}_0^1=({\mathrm{e}}^1+1^2)-({\mathrm{e}}^0+0^2)=(\mathrm{e}+1)-(1+0)=\mathrm{e}.$$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：常见初等函数的求导与不定积分公式、微积分基本定理 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$。
• 核心方法：求原函数后代入上下限相减。
• 避坑指南：下限代入时必须注意 ${\mathrm{e}}^0=1$ 而非 $0$，防止漏减导致误选 (D)。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：微积分初步知识的基础计算题。
• 结论推广：${\int }_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]\mathrm{d}x=\alpha {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x+\beta {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$（定积分的线性性质）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷理-03 单-定积分
• 2008-山东卷理-14
• 2010-湖南卷理-05