2011-福建卷理-12 填-命题真假

本题导读

本题考查线面垂直的性质，以及正三角形面积公式。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） 三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA\perp$ 底面 $ABC$，$PA=3$，底面 $ABC$ 是边长为 $2$ 的正三角形，则三棱锥 $P-ABC$ 的体积等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用正三角形面积公式求出底面面积 $S_{△ABC}$。
2. 由 $PA\perp$ 底面 $ABC$ 可知三棱锥的高 $h=PA=3$。
3. 应用三棱锥体积公式 $V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}h$ 计算得出结果。

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

因为底面 $ABC$ 是边长为 $2$ 的正三角形， 所以底面积为：

$$S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^2=\sqrt{3}.$$

又因为 $PA\perp$ 底面 $ABC$，且 $PA=3$， 所以三棱锥 $P-ABC$ 的高为 $h=PA=3$。 根据棱锥体积公式，得：

$$V_{P-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot PA=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times 3=\sqrt{3}.$$

故答案为：$\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线面垂直的性质定理、正多边形面积计算、锥体体积计算公式 $V=\frac{1}{3}Sh$。
• 核心方法：直接套用棱锥体积公式。
• 避坑指南：计算棱锥体积时切勿漏乘系数 $\frac{1}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：立体几何初步中关于垂直与体积的最基础模型。
• 结论推广：若棱锥的一条侧棱垂直于底面，则该侧棱长即为棱锥的高，体积恒满足 $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}h$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-06 单-三视图体积
• 2014-上海卷文-19 解-正四面体展开
• 1985-全国卷理-14