2011-辽宁卷理-07 单-二倍角

本题导读

本题考查二倍角公式，以及诱导公式。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(理)） 设 $\sin \left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)=\frac{1}{3}$，则 $\sin 2\theta =$ ()

A. $-\frac{7}{9}$　　　　　　B. $-\frac{1}{9}$　　　　　　C. $\frac{1}{9}$　　　　　　D. $\frac{7}{9}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察已知角 $\frac{\pi }{4}+\theta$ 与所求角 $2\theta$ 之间的倍数与互余关系：$2\left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)=\frac{\pi }{2}+2\theta$。
2. 利用诱导公式 $\cos \left(\frac{\pi }{2}+2\theta \right)=-\sin 2\theta$ 建立桥梁。
3. 结合二倍角余弦公式求得 $\sin 2\theta$ 的值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $2\left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)=\frac{\pi }{2}+2\theta$， 由诱导公式得： $\cos \left(2\left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}+2\theta \right)=-\sin 2\theta$ 又由二倍角余弦公式 $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$，得： $\cos \left(2\left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)\right)=1-2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)$ 代入 $\sin \left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)=\frac{1}{3}$： $-\sin 2\theta =1-2\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^2=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$ 解得： $\sin 2\theta =-\frac{7}{9}$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：配角公式 $\cos \left(\frac{\pi }{2}+2\theta \right)=-\sin 2\theta$ 与 $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ 的综合应用。
• 核心方法：配角法，直接寻找待求角与已知角的代数线性组合。
• 避坑指南：如果展开 $\sin \left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \theta +\cos \theta )=\frac{1}{3}$，虽可两边平方求得 $\sin 2\theta$，但配角法更为直接且不易错漏符号。同时注意诱导公式 $\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=-\sin x$ 的负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自三角恒等变换中关于角 $\frac{\pi }{4}\pm \theta$ 与 $2\theta$ 的经典转化模型。
• 结论推广：
• $\cos \left[2\left(\frac{\pi }{4}+\theta \right)\right]=-\sin 2\theta$；
• $\cos \left[2\left(\frac{\pi }{4}-\theta \right)\right]=\sin 2\theta$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1977-上海理-01(4）
• 1977-福建卷-02(2)
• 1992-全国卷理-20