2011-辽宁卷理-09 单-导数

本题导读

本题考查分段函数的性质，以及指数不等式与对数不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(理)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^{1-x},& x⩽1\\ 1-{\log }_{2}x,& x>1\end{array}$，则满足 $f(x)⩽2$ 的 $x$ 取值范围是 ()

A. $[-1,2]$　　　　B. $[0,2]$　　　　C. $[1,+\infty )$　　　　D. $[0,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 按自变量区间分类：$x⩽1$ 和 $x>1$。
2. 在各自分段区间内解相应的不等式。
3. 取各自解集与定义区间的交集，最后求并集。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

原不等式 $f(x)⩽2$ 等价于以下两个不等式组之一： ① 当 $x⩽1$ 时： $2^{1-x}⩽2=2^1⟹1-x⩽1⟹x⩾0$ 结合区间前提 $x⩽1$，得 $0⩽x⩽1$。 ② 当 $x>1$ 时： $1-{\log }_{2}x⩽2⟹{\log }_{2}x⩾-1⟹x⩾2^{-1}=\frac{1}{2}$ 结合区间前提 $x>1$，得 $x>1$。 综合 ①、②，两段解集的并集为： $[0,1]\cup (1,+\infty )=[0,+\infty )$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分段函数求自变量范围。
• 核心方法：分段列出不等式组，在对应区间内求解并取并集。
• 避坑指南：第 ② 段中，由 $x⩾\frac{1}{2}$ 结合 $x>1$ 得到的是 $x>1$，切勿漏掉“$x>1$”直接与前面取交集导致错选。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：初等基本函数与分段函数不等式的经典高考基础题。
• 结论推广：解分段函数不等式 $f(x)⩽C$，遵循“分段求解、段内取交、各段并全”的通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2006-山东卷理-03 单-对数不等式的解法
• 2009-湖南卷理-01
• 2014-四川卷理-12 填-函数的周期性