2014-四川卷理-12 填-函数的周期性

本题导读

本题考查周期函数的性质以及分段函数的求值。核心在于利用周期性将自变量转化到给定的解析式定义域区间内。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的周期为 $2$ 的函数，当 $x\in [-1,1)$ 时，$f(x)=\{\begin{array}{ll}-4x^2+2,& -1\le x<0,\\ x,& 0\le x<1,\end{array}$ 则 $f\left(\frac{3}{2}\right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用周期性：已知周期 $T=2$，则对于任意 $x\in \mathbb{R}$，有 $f(x)=f(x-2)$。
2. 自变量转化：将 $\frac{3}{2}$ 减去一个周期，使其落在已知解析式的区间 $[-1,1)$ 内。
3. 分段代入：根据转化后的数值所处的子区间，选择对应的解析式进行计算。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用周期性转化自变量 因为 $f(x)$ 的周期为 $2$，所以： $f\left(\frac{3}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}-2\right)=f\left(-\frac{1}{2}\right)$ 注意到 $-\frac{1}{2}\in [-1,1)$，符合已知解析式的定义域。

第二步：选择对应的分段解析式 由于 $-\frac{1}{2}$ 满足 $-1\le -\frac{1}{2}<0$，应代入分段函数的第一部分： $f(x)=-4x^2+2$

第三步：计算结果 $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-4\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+2$ $=-4\cdot \frac{1}{4}+2$ $=-1+2=1$

故答案为 $1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：周期性的基本性质 $f(x)=f(x+kT),k\in \mathbb{Z}$。

2. 核心方法：“大化小”策略。处理周期函数求值问题，第一步永远是利用周期性将自变量“拉回”到已知区间。

3. 避坑指南：在代入分段函数时，务必仔细核对自变量所在的子区间，本题中 $-\frac{1}{2}$ 属于二次函数段而非线性函数段。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数的对称性（如奇偶性）与周期性的综合应用。

2. 结论推广: 若周期为 $T$，求 $f(a)$，则寻找 $k$ 使得 $a+kT\in [x_{start},x_{end}]$。

3. 方法推广: “大化小”策略。处理周期函数求值问题，第一步永远是利用周期性将自变量“拉回”到已知区间。

🔗【关联脉络】

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