2011-重庆卷文-06 单-对数比较大小

本题导读

本题考查对数函数的性质，以及比较大小。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(文)） 设 $a={\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{2}$，$b={\log }_{\frac{1}{3}}\frac{2}{3}$，$c={\log }_3\frac{4}{3}$，则 $a$，$b$，$c$ 的大小关系是 ()

A. $a<b<c$　　　　　B. $c<b<a$　　　　　C. $b<a<c$　　　　　D. $b<c<a$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：统一化成以 3 为底：$a={\log }_{3}2$
2. 步骤2：$b={\log }_3\frac{3}{2}$
3. 步骤3：$c={\log }_3\frac{4}{3}$
4. 步骤4：再比真数

✅【答案】

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$c<b<a$。选 \textbf{B}

✍【详细解析】

Abstract

由换底公式，$a={\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{2}={\log }_{3}2$，$b={\log }_{\frac{1}{3}}\frac{2}{3}={\log }_3\frac{3}{2}$。 因为对数函数 $y={\log }_{3}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，且 $\frac{4}{3}<\frac{3}{2}<2$， 所以 ${\log }_3\frac{4}{3}<{\log }_3\frac{3}{2}<{\log }_{3}2$，即 $c<b<a$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：换底公式 ${\log }_{\frac{1}{3}}N=-{\log }_{3}N$；对数函数的单调性比较大小。

核心方法：负底数化正底数（${\log }_{\frac{1}{3}}N={\log }_3\frac{1}{N}$），统一底数后按真数排序。

避坑指南：${\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{2}={\log }_{3}2$ 是「底真同倒数、符号双负得正」，漏翻其中一个倒数会得到 $a<0$ 的错误结论；比较时三个真数 $\frac{4}{3}<\frac{3}{2}<2$ 的顺序勿颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指对数比大小是函数板块高频小题，2011 天津文 05、2012 天津文 04 与本题同为「统一底数」套路。

结论推广：三个对数同为正时只需比真数；若出现一正两负或两正一负，先按与 $0$、$1$ 的大小分组再组内比较。

方法推广：遇到 ${\log }_{\frac{1}{3}}$ 一律换成 ${\log }_3$ 并把真数取倒数，两步之内统一底数，再排序。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-05 单-指对数比较大小
• 2012-天津卷文-04 单-指对数比较大小
• 2011-北京卷文-03 单-对数不等式比较