2011-重庆卷文-13 填-直线与圆弦长

本题导读

本题考查圆的一般方程化标准方程，以及弦长与直线过圆心的关系。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(文)） 过原点的直线与圆 $x^2+y^2-2x-4y+4=0$ 相交所得弦的长为 $2$，则该直线的方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：圆心 $(1,2)$
2. 步骤2：半径 $r=1$
3. 步骤3：弦长 $2=2r$ 说明弦恰为直径
4. 步骤4：直线过圆心

✅【答案】

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$2x-y=0$

✍【详细解析】

Abstract

配方得 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=1$，圆心 $C(1,2)$，半径 $r=1$。 弦长为 $2=2r$，故弦恰为直径，直线经过圆心 $C(1,2)$。 又直线过原点，设 $y=kx$，则 $2=k$，即 $k=2$。 故直线方程为 $y=2x$，即 $2x-y=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：弦长 $=2r$ 的充要条件是弦为直径（直线过圆心）；圆的一般方程配方。

核心方法：化标准方程 → 半径与弦长比较定位置关系 → 过圆心定斜率。

避坑指南：弦长 $2$ 恰等于直径长，是「直线过圆心」的信号；若用弦心距公式 $d=\sqrt{r^2-1}=0$ 也可，但把弦长 $2$ 误当半弦长会得到错误半径关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆的弦长问题，2012 重庆卷文 03、2011 湖北文 14 与本题同型，均先化标准方程。

结论推广：一般地，过圆 $x^2+y^2-2x-4y+4=0$ 的弦长 $\ell$ 与弦心距 $d$ 满足 $\ell =2\sqrt{1-d^2}$；$\ell =2$ 对应 $d=0$。

方法推广：见弦长先比 $2r$：等于 $2r$ 直接过圆心，小于 $2r$ 才动用弦心距公式，可省去垂径分式的书写。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-03 单-直线与圆的弦长
• 2011-湖北卷文-14 填-直线与圆弦长
• 2012-北京卷文-09 填-直线与圆弦长