2009-江苏卷-18 解-直线与圆双弦

本题导读

考查直线与圆。(1) 距离 $1$ 得 $k=0$ 或 $k=-\frac{7}{24}$；(2) 两圆等半径，弦长相等即距离相等，关于 $k$ 恒成立，$P\left(\frac{5}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 或 $P\left(-\frac{3}{2},\frac{13}{2}\right)$。

📌【题干】

Question

（2009年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $C_1:(x+3{)}^2+(y-1{)}^2=4$ 和圆 $C_2:(x-4{)}^2+(y-5{)}^2=4$.

(1) 若直线 $l$ 过点 $A(4,0)$，且被圆 $C_1$ 截得的弦长为 $2\sqrt{3}$，求直线 $l$ 的方程；

(2) 设 $P$ 为平面上的点，满足：存在过点 $P$ 的无穷多对互相垂直的直线 $l_1$ 和 $l_2$，它们分别与圆 $C_1$ 和圆 $C_2$ 相交，且直线 $l_1$ 被圆 $C_1$ 截得的弦长与直线 $l_2$ 被圆 $C_2$ 截得的弦长相等.试求所有满足条件的点 $P$ 的坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 圆心到 $l$ 距离为 $\sqrt{4-3}=1$，$\frac{|-3k-1-4k|}{\sqrt{k^2+1}}=1$，解出 $k$（斜率不存在时直线 $x=4$ 与圆 $C_1$ 不相交，检验舍去）。
2. (2) 两圆半径相等，弦长相等 $\iff$ 两圆心到相应直线距离相等，得到关于 $k$ 的方程对无穷多个 $k$ 成立。
3. (2) 只有系数与常数同时为零，解两个方程组得两个 $P$。

✅【答案】

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(1) $y=0$ 或 $7x+24y-28=0$；(2) $\left(\frac{5}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 或 $\left(-\frac{3}{2},\frac{13}{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-4)$，即 $kx-y-4k=0$。圆 $C_1$ 的半径为 $2$，弦长为 $2\sqrt{3}$， 所以圆心 $(-3,1)$ 到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{2^2-{\left(\frac{2\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=1$。 于是 $\frac{|-3k-1-4k|}{\sqrt{k^2+1}}=1$，即 $24k^2+7k=0$，因此 $k=0$ 或 $k=-\frac{7}{24}$， 所求直线为 $y=0$ 或 $7x+24y-28=0$。（当 $l$ 垂直于 $x$ 轴时 $l:x=4$，圆心距为 $7>2$，不合题意。）

(2) 设 $P=(m,n)$。设过 $P$ 的直线 $l_1$ 斜率为 $k$（非零有限），与之垂直的 $l_2$ 斜率为 $-\frac{1}{k}$， $l_1:y-n=k(x-m)$，$l_2:y-n=-\frac{1}{k}(x-m)$。 两圆半径相等，且两条直线截得的弦长相等，所以两圆心到相应直线的距离相等： $\frac{|-(m+3)k+n-1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|(n-5)k+m-4|}{\sqrt{k^2+1}}$。 因此 $(2-m-n)k=m-n-3$ 或 $(m-n+8)k=m+n-5$。 关于 $k$ 的方程只有在相应等式的两边恒为零时才有无穷多个解，所以 $\{\begin{array}{l}2-m-n=0,\\ m-n-3=0,\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}m-n+8=0,\\ m+n-5=0.\end{array}$ 解得 $(m,n)=\left(\frac{5}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 或 $\left(-\frac{3}{2},\frac{13}{2}\right)$。 对于这两个点，满足距离相等的方向中有无穷多个方向使公共距离不超过半径 $2$，故确实能分别与两圆相交。 所以所求点为 $\left(-\frac{3}{2},\frac{13}{2}\right)$ 或 $\left(\frac{5}{2},-\frac{1}{2}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆、两圆对称

核心方法：垂径定理降弦长；距离相等恒成立定 $P$

避坑指南：(2) “无穷多对”落在关于 $k$ 的方程恒为零上，系数与常数同时为零。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等半径双圆的等弦长问题化为等距离问题。

结论推广：(1) 弦长 $2\sqrt{3}$ 给出圆心距 $1$，两次解得两斜率（含 $k=0$）。

方法推广：斜率不存在的情形要单独检验；$P$ 的两解都须验证”距离不超过半径”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2011-湖北卷文-14 填-直线与圆弦长
• 2011-重庆卷文-13 填-直线与圆弦长
• 2012-安徽卷文-09 单-直线与圆位置关系定参