2011-重庆卷理-06 单-椭圆

本题导读

本题考查余弦定理，以及完全平方公式展开。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(理)） 若 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边 $a,b,c$ 满足 $(a+b{)}^2-c^2=4$，且 $C=60^{\circ }$，则 $ab$ 的值为 ()

A. $\frac{4}{3}$　　　　　　B. $8-4\sqrt{3}$　　　　　　C. $1$　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开条件式 $(a+b{)}^2-c^2=a^2+2ab+b^2-c^2=4$。
2. 利用余弦定理 $a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$ 替换其中的 $a^2+b^2-c^2$ 项。
3. 代入 $C=60^{\circ }$ 求解 $ab$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由已知展开得： $a^2+2ab+b^2-c^2=4$，即 $(a^2+b^2-c^2)+2ab=4$。 由余弦定理知 $a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$。 因为 $C=60^{\circ }$，所以 $\cos C=\frac{1}{2}$， 从而 $a^2+b^2-c^2=2ab\times \frac{1}{2}=ab$。 代入前式得： $ab+2ab=4⟹3ab=4⟹ab=\frac{4}{3}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：余弦定理的变形应用与代数化简。
• 核心方法：整体代换法（将 $a^2+b^2-c^2$ 整体用 $2ab\cos C$ 代替）。
• 避坑指南：避免盲目消元或求单边长，注意整体思想的运用。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于教材课后习题中余弦定理与面积公式联合恒等变形模型。
• 结论推广：在 $△ABC$ 中，恒有 $(a+b{)}^2-c^2=2ab(1+\cos C)=4ab{\cos }^2\frac{C}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-13 填-余弦定理
• 2025-天津卷-16 解-解三角形综合
• 2003-全国卷理-17