2011-重庆卷理-10 单-两角和差

本题导读

本题考查一元二次方程根的分布，以及整数规划与不等式组。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(理)） 设 $m,k$ 为整数，方程 $m{x}^2-kx+2=0$ 在区间 $(0,1)$ 内有两个不同的根，则 $m+k$ 的最小值为 ()

A. $-8$　　　　　　　B. $8$　　　　　　　C. $12$　　　　　　　D. $13$

🔍【思路分析】

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1. 设 $f(x)=m{x}^2-kx+2$。在 $(0,1)$ 内有两个相异实根，要求 $m\ne 0$。
2. 根据二次函数图像在开区间有两零点的充分必要条件：

• 判别式 $\Delta >0$；
• 零点区间端点值符号与开口同向；
• 对称轴位于区间 $(0,1)$ 内。

3. 列出关于 $m,k$ 的不等式组，并结合 $m,k\in \mathbf{Z}$ 寻求满足约束的 $m+k$ 最小值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

方程 $m{x}^2-kx+2=0$ 在 $(0,1)$ 内有两个相异实根，令 $f(x)=m{x}^2-kx+2$。 由 $f(0)=2>0$ 可知，抛物线开口必向上，即 $m>0$。 函数零点均在 $(0,1)$ 内充要条件为： $\{\begin{array}{l}\Delta =(-k{)}^2-4m(2)=k^2-8m>0\\ f(1)=m-k+2>0\\ 0<\frac{k}{2m}<1\end{array}$ 化简得： $\{\begin{array}{l}{k}^2>8m\\ k<m+2\\ 0<k<2m\end{array}$ 由 $k<m+2$ 及 $k$ 为整数，得 $m>k-2$。 又由 $k^2>8m$，得 $m<\frac{k^2}{8}$。 因此：$k-2<\frac{k^2}{8}⟹k^2-8k+16>0⟹(k-4{)}^2>0$。 由于 $k$ 为整数，只要 $k\ne 4$。 结合 $k-2<m<\frac{k^2}{8}$，检验正整数 $k$：

• 若 $k⩽4$：
• $k=1⟹-1<m<\frac{1}{8}$，无整数解；
• $k=2⟹0<m<\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，无整数解；
• $k=3⟹1<m<\frac{9}{8}$，无整数解；
• $k=4$ 时，不满足 $(k-4{)}^2>0$（此时 $k-2=2$ 且 $\frac{k^2}{8}=2$，无解）。
• 若 $k=5$：$3<m<\frac{25}{8}=3.125⟹$ 无整数解；
• 若 $k=6$：$4<m<\frac{36}{8}=4.5⟹$ 无整数解；
• 若 $k=7$：$5<m<\frac{49}{8}=6.125⟹$ 整数 $m$ 可取 $6$。 此时验证：$m=6,k=7$：
• $\Delta =49-48=1>0$；
• $f(1)=6-7+2=1>0$；
• 对称轴 $x=\frac{7}{12}\in (0,1)$。 完全满足所有条件，此时 $m+k=6+7=13$。 对更大的 $k$（如 $k⩾8$），必有 $m>k-2⩾6$，则 $m+k>14>13$。 故 $m+k$ 的最小值为 $13$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：一元二次方程根的分布理论、整除与整数不等式夹逼。
• 核心方法：端点函数值、对称轴、判别式三要素连立，结合参数的离散性（整数）逐项验证。
• 避坑指南：极易漏掉 $f(0)=2>0$ 蕴含的 $m>0$ 开口限制；或忽略 $\Delta$ 必须严格大于零的“两个相异根”要求。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：由解析几何/代数根的分布理论与数论整点问题的交叉结合题。
• 结论推广：方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 在 $(x_1,x_2)$ 内有两个相异根，若端点符号确定，则判别式 $\Delta >0$、对称轴分布 $x_0\in (x_1,x_2)$、端点同号条件三者构成了充要解集。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1989-全国卷理-24 解-周期函数与根分布
• 2006-浙江卷理-16 解-不等式的性质
• 2007-广东卷理-20 解-函数值域最值