2011-重庆卷理-18 解-导数

本题导读

本题考查导数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(理)） 设 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+1$ 的导数 $f^{\prime }(x)$ 满足 $f^{\prime }(1)=2a$，$f^{\prime }(2)=-b$，其中常数 $a,b\in \mathbf{R}$.

(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；

(2) 设 $g(x)=f^{\prime }(x){\mathrm{e}}^{-x}$，求函数 $g(x)$ 的极值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：求出 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$，代入条件 $f^{\prime }(1)=2a$ 和 $f^{\prime }(2)=-b$ 建立关于 $a,b$ 的方程组，求出系数 $a,b$；进而求得切点坐标 $(1,f(1))$ 与切线斜率 $k=f^{\prime }(1)$，写出点斜式切线方程。
2. 第二问：将求得的 $f^{\prime }(x)$ 代入 $g(x)=f^{\prime }(x){\mathrm{e}}^{-x}$，对 $g(x)$ 求导 $g^{\prime }(x)$，令 $g^{\prime }(x)=0$ 确定驻点，通过列表或符号分析确定单调区间，从而求得函数的极大值与极小值。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+1$， 所以 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$。 由题设条件知：

$$\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(1)=3+2a+b=2a\\ f^{\prime }(2)=12+4a+b=-b\end{array}$$

由第一个方程得 $b=-3$。 代入第二个方程：$12+4a-3=3⟹4a=-6⟹a=-\frac{3}{2}$。 因此，

$$f(x)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2-3x+1,f^{\prime }(x)=3x^2-3x-3.$$

切点的纵坐标为：

$$f(1)=1^3-\frac{3}{2}(1{)}^2-3(1)+1=1-\frac{3}{2}-3+1=-\frac{5}{2}.$$

切线斜率为：

$$k=f^{\prime }(1)=2a=2\times \left(-\frac{3}{2}\right)=-3.$$

所以，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为：

$$y-\left(-\frac{5}{2}\right)=-3(x-1),$$

化简得：

$$6x+2y-1=0(\text{或 }y=-3x+\frac{1}{2}).$$

(2) 由 (1) 知 $f^{\prime }(x)=3x^2-3x-3=3(x^2-x-1)$， 所以

$$g(x)=3(x^2-x-1){\mathrm{e}}^{-x}.$$

求导得：

$$\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(x)& =3(2x-1){\mathrm{e}}^{-x}+3(x^2-x-1)(-{\mathrm{e}}^{-x})\\ & =3{\mathrm{e}}^{-x}\left[(2x-1)-(x^2-x-1)\right]\\ & =3{\mathrm{e}}^{-x}(-x^2+3x)\\ & =-3x(x-3){\mathrm{e}}^{-x}.\end{array}$$

由于 ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ 恒成立，令 $g^{\prime }(x)=0$，解得 $x_1=0$，$x_2=3$。

$g^{\prime }(x)$ 与 $g(x)$ 随 $x$ 的变化情况如下：

$x$	$(-\infty ,0)$	$0$	$(0,3)$	$3$	$(3,+\infty )$
$g^{\prime }(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$g(x)$	$\searrow$ (单调递减)	极小值	$\nearrow$ (单调递增)	极大值	$\searrow$ (单调递减)

因此：

• 当 $x=0$ 时，$g(x)$ 取得极小值，极小值为：

$$g(0)=3(0-0-1){\mathrm{e}}^0=-3;$$

• 当 $x=3$ 时，$g(x)$ 取得极大值，极大值为：

$$g(3)=3(3^2-3-1){\mathrm{e}}^{-3}=3(9-3-1){\mathrm{e}}^{-3}=15{\mathrm{e}}^{-3}=\frac{15}{{\mathrm{e}}^3}.$$

综上所述，$g(x)$ 的极小值为 $-3$，极大值为 $\frac{15}{{\mathrm{e}}^3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：导数切线几何意义、乘积求导法则 $[u(x)v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$。
• 核心方法：
• 待定系数法解线性方程组求多项式参数；
• 导函数零点分析与符号穿轴判定极值点类型。
• 避坑指南：
• 求导复合函数 $({\mathrm{e}}^{-x}{)}^{\prime }=-{\mathrm{e}}^{-x}$ 时注意负号链式传递；
• 题问为“求函数的极值”，需写出极值函数值，而非仅写极值点。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于多项式函数与自然指数衰减因子乘积的标准模型，也是概率论中伽马分布及物理阻尼震荡导数的核心原形。
• 结论推广：对 $g(x)=P_n(x){\mathrm{e}}^{-kx}$（其中 $P_n$ 为 $n$ 次多项式），其导数形式为 $g^{\prime }(x)=[P_n^{\prime }(x)-k{P}_n(x)]{\mathrm{e}}^{-kx}$，依然保持同阶多项式与指数函数的乘积结构。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2004-天津理-20 解-导数的几何意义
• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2013-福建卷理-17 解-切线方程